Chapters 2 and 3 was fixed

c2.tex

@@ -163,7 +163,7 @@ C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
 
 \begin{equation} 
  \begin{array}{c}
-  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_1^0, \\
   u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
   {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
   \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =

c3.tex

@@ -72,10 +72,18 @@ table[
 \section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоя тканого композита 
 c керамическими волокнами и поликристаллической матрицей}
 
-\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений}
+\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации двухстороннего 
+равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя}
 
-Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены на 
-рисунке~\ref{fig:c3:max_k_s1}:
+Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с 
+керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных 
+условий~\ref{eq:b_cond}, соответствующие деформации двухстороннего 
+равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя.
+
+Максимальные значения коэффициентов концентрации в точке, соответствующей 
+центру межволоконного пространства для компонент тензора напряжений модели с 
+гарантированной прослойкой матрицы представлены на 
+рисунке~\ref{fig:c3:max_k_s0}.
 
 \begin{figure}[ht!]
   \centering
@@ -83,78 +91,125 @@ c керамическими волокнами и поликристаллич
   \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
 межволоконного пространства тканого композита при двухосном равнокомпонентном 
 растяжении в плоскости слоя}
- \label{fig:c3:max_k_s1}
+ \label{fig:c3:max_k_s0}
 \end{figure}
 
-Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех
-типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная
-составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с
-дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной
-периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения
-коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным
-составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$.
-
-На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения
+Как видно из рисунка, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для дефекта, 
+представляющего собой пропуск волокна основы вносит касательная составляющая 
+тензора напряжения $\sigma_{23}$.  При возникновении такого дефекта как разрыв 
+волокна основы максимальный вклад вносит нормальная компонента тензора 
+напряжений $\sigma_{22}$. При одновременном разрыве волокон основы и утка 
+максимальный вклад вносит касательная компонента тензора напряжений 
+$\sigma_{13}$. При наличии внутренней технологической поры максимальный вклад 
+вносит касательная компонента тензора напряжений $\sigma_{12}$. Для всех 
+дефектов кроме разрыва волокон основы может произойти разрушение матрицы по 
+механизмам сдвигов в плоскости слоя. Разрыв волокна основы может привести к 
+расслоению матрицы. При этом дополнительные технологические операции по 
+доуплотнению полости, образованной дефектом, позволяют снизить влияние 
+концентраторов напряжений.
+
+На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s0}~--~\ref{fig:k_d7_s0} показаны распределения
 коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
-искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
+искривленными волокнами и поликристаллической матрицей для случая когда 
+волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы при наличии различных
 типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
 материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
 достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
 утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
-области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений
-превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
-идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна
-основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска
-волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и
-утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и
-утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
-снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения
-поликристаллической матрицы.
+области, расположенные вблизи локальных дефектов, при этом, в случае наличия 
+дефекта максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений приходятся 
+на фазу тканого наполнителя. При наличии материала матрицы в полостях, 
+образованных дефектами максимальные значения коэффициентов концентрации 
+интенсивностей напряжений приходятся на фазу матрицы.
 
 \begin{figure}[ht!]
  \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d1d2}
  \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
 слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
 доуплотнения~(б)}
- \label{fig:k_d1d2_s1}
+ \label{fig:k_d1d2_s0}
 \end{figure}
 
-\pagebreak
-
 \begin{figure}[ht!]
  \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d3d4}
  \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
 слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
 доуплотнения~(б)}
- \label{fig:k_d3d6_s1}
+ \label{fig:k_d3d4_s0}
 \end{figure}
 
+\pagebreak
+
 \begin{figure}[ht!]
  \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d5d6}
  \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
 слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
 доуплотнения~(б)}
- \label{fig:k_d4d7_s1}
+ \label{fig:k_d5d6_s0}
 \end{figure}
 
-\pagebreak
-
 \begin{figure}[ht!]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/s0/s0d7}
  \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
 слое тканого композита с внутренней технологической порой}
- \label{fig:k_d5_s1}
+ \label{fig:k_d7_s0}
+\end{figure}
+
+Структура распределения максимальных значений коэффициентов концентрации 
+напряжений в точке, соответствующей центру межволоконного пространства, при 
+условии наличия площадки контакта с трением между волокнами показана на 
+рис.~\ref{fig:c3:max_k_s1_f}.
+
+\begin{figure}[ht!]
+  \centering
+  \kdiagram{tables/p1s0.csv}
+  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
+межволоконного пространства тканого композита при равнокомпонентном двухосном 
+растяжении}
+ \label{fig:c3:max_k_s1_f}
+\end{figure}
+
+Из рисунка видно, что при наличии контакта с трением между волокнами для всех 
+типов дефектов наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносит нормальная 
+составляющая тензора напряжений $\sigma_{22}$, что может свидетельствовать о 
+возможном начале разрушения слоя материала по механизмам расслоения матрицы в 
+направлении, перпендикулярном плоскости слоя. Дополнительное насыщение полости, 
+образованной дефектом позволяет снизить коэффициенты концентрации в $1{,}2$ -- 
+$1{,}6$ раз.
+
+Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных 
+наличием различных типов дефектов,  в слое тканного композита при условии 
+наличия контакта с трением между волокнами показаны на 
+рис.~\ref{fig:c3:k_d3d4_s0} -- \ref{fig:c3:k_d5d6_s0}.
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3}
+ \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
+слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
+доуплотнения~(б)}
+ \label{fig:c3:k_d3d4_s0}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4}
+ \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
+слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
+доуплотнения~(б)}
+ \label{fig:c3:k_d5d6_s0}
 \end{figure}
 
-\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге}
 
-Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить
-граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями
+\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации чистого 
+формоизменения}
+
+Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с 
+керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных 
+условий~\ref{eq:c3:b_cond:s1}:
 
 \begin{equation} 
  \begin{array}{c}
-  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = -u_1^0,\\
   u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
   {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
   \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
@@ -162,18 +217,10 @@ c керамическими волокнами и поликристаллич
   \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
   \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
  \end{array}
- \label{eq:b_cond:s2}
+ \label{eq:c3:b_cond:s1}
 \end{equation}
 
-\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение
-интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}.
-
-\begin{figure}[ht]
- \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2}
- \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
-периодической структурой при чистом формоизменении}
- \label{fig:vmis_v1_s2}
-\end{figure}
+\noindent соответствующие деформации чистого формоизменения.
 
 Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
 композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
@@ -420,15 +467,6 @@ $\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая
  \label{fig:c3:vmis_v2_s1}
 \end{figure}
 
-\begin{figure}[ht!]
-  \centering
-  \kdiagram{tables/p1s0.csv}
-  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
-межволоконного пространства тканого композита при равнокомпонентном двухосном 
-растяжении}
- \label{fig:c3:max_k_s1_f}
-\end{figure}
-
 На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены
 распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для
 слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон
@@ -445,22 +483,6 @@ $\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая
 (рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка
 одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б).
 
-\begin{figure}[ht!]
- \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3}
- \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
-слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
-доуплотнения~(б)}
- \label{fig:c3:k_d1d3_s1}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[ht!]
- \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4}
- \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
-слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
-доуплотнения~(б)}
- \label{fig:c3:k_d2d4_s1}
-\end{figure}
-
 \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
 соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}