disser/c3.tex

\pgfplotstableset{
  col sep=comma, 
  use comma,
  every head row/.style={before row=\hline,after row=\hline\hline},
  every last row/.style={after row=\hline},
  every nth row={1}{before row=\hline},
  every nth row={2}{before row=\hline\hline},
  columns={type,ksxx,ksyy,kszz,ksxy,ksxz,ksyz},
  columns/type/.style={column name=Тип дефекта, 
                       column type=|p{8cm}|, 
                       string type},
  columns/ksxx/.style={column name=$K_{\sigma_{11}}$, 
                       column type=|c},
  columns/ksyy/.style={column name=$K_{\sigma_{22}}$, 
                       column type=|c},
  columns/kszz/.style={column name=$K_{\sigma_{33}}$, 
                       column type=|c},
  columns/ksxy/.style={column name=$K_{\sigma_{12}}$, 
                       column type=|c},
  columns/ksxz/.style={column name=$K_{\sigma_{13}}$, 
                       column type=|c},
  columns/ksyz/.style={column name=$K_{\sigma_{23}}$, 
                       column type=|c|}
}

\newcommand{\kdiagram}[1]{
\begin{tikzpicture}
\pgfplotstableread{#1}\loadedtable;
\begin{axis}[xbar stacked, width=10cm,height=10cm,
             y dir = reverse,
             bar width = 0.8,
             cycle list name=colorbrewer-ylgnbu,
             ytick=data, 
             area legend, 
             xtick=\empty,
             legend style={at={(0.5,-0.20)},anchor=east,legend columns=-1},
             yticklabels from table={\loadedtable}{type},
             yticklabel style={font=\small},
             xmin=0, 
             enlarge x limits=false,
             point meta=explicit,
             every node near coord/.append style={font=\small},
             nodes near coords={\pgfmathprintnumber[precision=2, zerofill]
                                {\pgfplotspointmeta}},
             nodes near coords align
             ]
\foreach \p in {ksxx, ksyy, kszz, ksxy, ksxz, ksyz}{
\addplot+[xbar] 
table[
  x expr={\thisrow{\p}/(\thisrow{ksxx}+\thisrow{ksyy}+\thisrow{kszz}+ 
          \thisrow{ksxy}+\thisrow{ksxz}+\thisrow{ksyz})}, 
          y=id,           
          meta=\p
          ]{\loadedtable};
}
\legend{$K_{\sigma_{11}}$, 
        $K_{\sigma_{22}}$, 
        $K_{\sigma_{33}}$, 
        $K_{\sigma_{12}}$, 
        $K_{\sigma_{13}}$, 
        $K_{\sigma_{23}}$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}


\chapter{Математическая модель слоя тканого композиционного материала с
искривленными волокнами и внутренними технологическими дефектами}

В главе\inthirdtext

\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоя тканого композита 
c керамическими волокнами и поликристаллической матрицей}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации двухстороннего 
равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя}

Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с 
керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных 
условий~\ref{eq:b_cond}, соответствующие деформации двухстороннего 
равнокомпонентного растяжения в плоскости слоя.

Максимальные значения коэффициентов концентрации в точке, соответствующей 
центру межволоконного пространства для компонент тензора напряжений модели с 
гарантированной прослойкой матрицы представлены на 
рисунке~\ref{fig:c3:max_k_s0}.

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p0s0.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при двухосном равнокомпонентном 
растяжении в плоскости слоя}
 \label{fig:c3:max_k_s0}
\end{figure}

Как видно из рисунка, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для дефекта, 
представляющего собой пропуск волокна основы вносит касательная составляющая 
тензора напряжения $\sigma_{23}$.  При возникновении такого дефекта как разрыв 
волокна основы максимальный вклад вносит нормальная компонента тензора 
напряжений $\sigma_{22}$. При одновременном разрыве волокон основы и утка 
максимальный вклад вносит касательная компонента тензора напряжений 
$\sigma_{13}$. При наличии внутренней технологической поры максимальный вклад 
вносит касательная компонента тензора напряжений $\sigma_{12}$. Для всех 
дефектов кроме разрыва волокон основы может произойти разрушение матрицы по 
механизмам сдвигов в плоскости слоя. Разрыв волокна основы может привести к 
расслоению матрицы. При этом дополнительные технологические операции по 
доуплотнению полости, образованной дефектом, позволяют снизить влияние 
концентраторов напряжений.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s0}~--~\ref{fig:k_d7_s0} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей для случая когда 
волокна окружены гарантированной прослойкой матрицы при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локальных дефектов, при этом, в случае наличия 
дефекта максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений приходятся 
на фазу тканого наполнителя. При наличии материала матрицы в полостях, 
образованных дефектами максимальные значения коэффициентов концентрации 
интенсивностей напряжений приходятся на фазу матрицы.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d1d2_s0}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d3d4_s0}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s0/s0d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d5d6_s0}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/s0/s0d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:k_d7_s0}
\end{figure}

Структура распределения максимальных значений коэффициентов концентрации 
напряжений в точке, соответствующей центру межволоконного пространства, при 
условии наличия площадки контакта с трением между волокнами показана на 
рис.~\ref{fig:c3:max_k_s1_f}.

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p1s0.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при равнокомпонентном двухосном 
растяжении}
 \label{fig:c3:max_k_s1_f}
\end{figure}

Из рисунка видно, что при наличии контакта с трением между волокнами для всех 
типов дефектов наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносит нормальная 
составляющая тензора напряжений $\sigma_{22}$, что может свидетельствовать о 
возможном начале разрушения слоя материала по механизмам расслоения матрицы в 
направлении, перпендикулярном плоскости слоя. Дополнительное насыщение полости, 
образованной дефектом позволяет снизить коэффициенты концентрации в $1{,}2$ -- 
$1{,}6$ раз.

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных 
наличием различных типов дефектов,  в слое тканного композита при условии 
наличия контакта с трением между волокнами показаны на 
рис.~\ref{fig:c3:k_d3d4_s0} -- \ref{fig:c3:k_d5d6_s0}.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d3d4_s0}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:c3:k_d5d6_s0}
\end{figure}


\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при деформации чистого 
формоизменения}

Найдем коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с 
керамическими волокнами и поликристаллической матрицей с учетом граничных 
условий~\ref{eq:c3:b_cond:s1}:

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = -u_1^0,\\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:c3:b_cond:s1}
\end{equation}

\noindent соответствующие деформации чистого формоизменения.

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
различных технологических дефектов под воздействием сдвиговых
нагрузок представлены в таблице~\ref{fig:c3:max_k_s3}:

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p0s2.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при чистом формоизменении}
 \label{fig:c3:max_k_s3}
\end{figure}

Из таблицы видно, что в случае приложения сдвиговых нагрузок к
фрагменту композита с локальными технологическими дефектами максимальные
значения принимают коэффициенты концентрации касательной составляющей
$\sigma_{13}$ и нормальной составляющей $\sigma_{33}$ компонент тензор
напряжений. Для фрагмента с внутренней технологической порой максимальный вклад
в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательные составляющие
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора
напряжений.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s2}~--~\ref{fig:k_d5_s2} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d1d2_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d3d6_s2}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s1/s1d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d4d7_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/s1/s1d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d5_s2}
\end{figure}

Вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений превышают соответствующие
интенсивности напряжений определенное  для композита идеальной периодической
структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней технологической поры, в $1{,}3$ 
раза для случая пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}6$ раз для
одновременного разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае разрыва волокна
основы или волокон основы и утка, значение коэффициентов концентрации
интенсивностей напряжений может быть снижено до $1{,}2$ и $1{,}5$
соответственно, с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении}

В случае, если граничные условия \ref{eq:b_cond} в краевой задаче
\eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} будут принимать вид

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s3}
\end{equation}

\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
направлении, соответствующем направлению утка.

Решив задачу \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal} -- \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3} методом
конечных элементов, получим распределение интенсивности напряжений
(рис.~\ref{fig:vmis_v1_s3}) и максимальные значения коэффициентов концентрации
напряжений (таблица~\ref{fig:c3:max_k_s2}).

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при одноосном растяжении}
 \label{fig:vmis_v1_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p0s1.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при одноосном растяжении в 
направлении волокон основы}
 \label{fig:c3:max_k_s2}
\end{figure}

Из таблицы \ref{tab:max_k_s3} можно заметить, что наибольший вклад в
коэффициенты концентраций вносят касательные составляющие тензора напряжений
$\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$.
Исключение составляет случай, когда в слое тканого композита присутствует
внутренняя технологическая пора. В этом случае значение касательной
компоненты тензора напряжений превышает соответствующее значение в и идеальной
периодической структуре в $4{,}59$ раз.

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое
тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при
наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной
пропитки композита материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок
представлены на рис.~\ref{fig:k_d1d2_s3}~--~\ref{fig:k_d5_s3}.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d1d2_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d3d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d3d6_s3}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/s2/s2d5d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d4d7_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/s2/s2d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при одноосном
растяжении}
 \label{fig:k_d5_s3}
\end{figure}

Из рисунков видно что вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное  для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней
технологической поры или разрыва волокна основы, в $1{,}3$  раза для случая
пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}4$ раз для одновременного
разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае пропуска или разрыва волокна
основы, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}2$ и $1{,}3$ соответственно, с помощью дополнительных операций
доуплотнения поликристаллической матрицы.


\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоя тканого композита с 
металическими волокнами и поликристаллической матрицей}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита с контактом между
волокнами}

В качестве дефектов, вызывающих концентрации напряжений будем рассматривать
типичные дефекты, возникающие вследствие очень плотного расположения волокон
--- разрыв волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~а) и разрывы волокон основы и
утка (рис.~\ref{fig:c3:d2d4}~а). Кроме того рассмотрим случаи когда пора в
матрице, образованная дефектом заполняется материалом матрицы в ходе
дополнительных технологических операций (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~б и
\ref{fig:c3:d2d4}~б).

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d1d3}
 \caption{Разрыв волокна основы в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d1d3}
\end{figure}

\begin{figure}
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d2d4}
 \caption{Разрыв волокон основы и утка в тканом композите с поликристаллической
матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной
пропиткой~(б)}
 \label{fig:c3:d2d4}
\end{figure}

\subsection{Численное решение краевой задачи упругости}

Матрицу будем разбивать 14-узловыми тетраэдральными элементами, а волокно --- 
20-узловыми гексаэдральными
элементами. Степень дискретизации
конечно-элементной сетки будем выбирать таким образом, чтобы дальнейшее
уменьшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не
влияло на значения структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое
тканого композита. Параметры сеток, удовлетворяющих этим условиям показаны в
таблице.

Решив задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Koshi} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_Colomb_2} методом конечных элементов получим
поля интенсивностей напряжений в искривленных нитях основы и утка слоя
модельного тканого композита идеальной периодической структуры, показанных
на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s1}. Как видим, распределение искомых полей в
рассматриваемом случае удовлетворяет условиям симметрии и периодичности
геометрической модели и приложенной внешней нагрузке. Это свидетельствует о
корректно построенной модели и корректности полученного численного решения.
Кроме того, обращает на себя внимание концентрация напряжений в местах, где
искривленные нити основы и утка имеют наибольшую кривизну.

В табл. \ref{fig:c3:max_k_s1_f} представлены максимальные безразмерные
коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$, определяемые отношением компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической
структуры. Обратим внимание на то, что наибольший вклад в коэффициенты
концентрации вносят касательные составляющие тензора напряжений $\sigma_{13}$.
Напряжения для этих компонент, в 10--48 раз превышают соответствующие значения
для модельного материала с идеальной периодической структурой.

\begin{figure}[t!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{vmis_v2_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в нитях основы и утка при
равнокомпонентном двухосном растяжении}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s1}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для
слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон
основы и утка. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локального разрыва утка или одновременного
разрыва основы и утка, где интенсивность напряжений превышает соответствующее
значение, определенное для композита идеальной периодической структуры в $2{,}1$
раза. Стоит заметить, что заполнение поры, образовавшейся вследствие дефекта,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы приводит к увеличению коэффициентов
концентрации интенсивностей напряжений до $2{,}8$, при разрыве волокна основы
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка
одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б).

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}~--~\ref{eq:b_cond:s2},
соответствующими чистому сдвигу, дополненными граничными условиями
\ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2}, задающими трения между
волокнами основы и утка тканого композита с поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s2}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s2}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении и наличии контакта между
волокнами основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s2}
\end{figure}

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{fig:c3:max_k_s3_f}. Как видно из таблицы, наибольший вклад в
коэффициенты концентрации напряжений вносят касательная составляющая
$\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора напряжений.
Значения этих составляющих в материале с дефектом в $10$~--~$29$ раз превышают
соответствующие значения в материале с идеальной периодической структуре.

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p1s2.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при чистом формоизменении}
 \label{fig:c3:max_k_s3_f}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s2} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных
наличием дефекта в виде разрыва волокна основы и разрыва волокон основы и утка в
слое тканого композита с поликристаллической матрицей при чистом сдвиге. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s2}
\end{figure}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений строго
периодично и достигает максимальных значений в местах, расположенных вблизи
локальных дефектов. При разрыве волокна основы максимальное значение
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений равно $2{,}3$
(рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2}~а), а при одновременном разрыве волокон основы и
утка --- $3{,}0$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). При этом, заполнение поры,
образовавшейся в результате одновременного разрыва волокон основы и утка,
материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или
осаждения матрицы из газовой фазы позволяет снизить коэффициенты концентрации
интенсивностей напряжений до $2{,}6$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). 

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
соприкасающимися волокнами при одноосном растяжении}

Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal}, \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3},
соответствующими одноосному растяжению в направлении утка, дополненными
граничными условиями \ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2},
задающими трения между волокнами основы и утка тканого композита с
поликристаллической матрицей.

Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи,
показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s3}, строго периодичны, что говорит о
корректности полученного решения.

В таблице \ref{fig:c3:max_k_s2_f} показаны максимальные безразмерные 
коэффициенты
концентрации напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов
волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей
при одноосном растяжении. Максимальный вклад в коэффициенты концентраций вносит
касательная составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, значения которой в
материале с локальным дефектом превышают соответствующие значения в материале с
идеальной периодической структурой в $11$~--~$16$ раз.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при одноосном растяжении в 
направлении волокон основы и наличии контакта между волокнами
основы и утка}
 \label{fig:c3:vmis_v2_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
  \centering
  \kdiagram{tables/p1s1.csv}
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в центре 
межволоконного пространства тканого композита при одноосном растяжении в 
направлении волокон основы}
 \label{fig:c3:max_k_s2_f}
\end{figure}

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванные
наличием разрыва волокна основы и разрывов волокон основы и утка, показаны на
рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s3} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s3}. 

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d1d3}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d1d3_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d2d4}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:c3:k_d2d4_s3}
\end{figure}

Максимальных значений коэффициенты концентрации достигают в местах наибольшей
кривизны волокон. Для материала с локальным разрывом волокна основы значения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений достигают $2{,}3$, а при
одновременном разрыве волокон основы и утка --- $2{,}5$, причем заполнение
поры, образовавшейся вследствие наличия локального дефекта, материалом
поликристаллической матрицы, путем дополнительной пропитки конструкции или
осаждения матрицы из газовой фазы, приводит к увеличению коэффициентов
концентрации до $2{,}6$ и $3{,}7$ для случаев разрыва волокна основы и
одновременного разрыва волокон основы и утка соответственно.

\section*{Выводы к третьей главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы к третьей главе}

\begin{enumerate}
 \item Построены математические модели фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, одновременный разрыв волокон
основы и утка, а также наличие внутренней технологической поры с учетом
наличия гарантированной прослойки матрицы между волокнами основы и утка,
а также с учетом контакта с трением между волокнами.
 \item На основе численного решения задач комбинированного многоосного
нагружения получены значения безразмерных коэффициентов концентрации напряжений
в слое тканого композита, вызванные наличием локальных технологических дефектов.
 \item Определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
композита с искривленными волокнами. Показаны зависимости этих механизмов от
типа дефекта, вида нагружения, а также наличия в технологическом процессе
дополнительных операций, обеспечивающих проникновение связующего в полости,
образованные локальными технологическими дефектами.
\end{enumerate}