|
|
@@ -4,27 +4,24 @@
|
|
|
\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
|
|
|
поликристаллической матрицей}
|
|
|
|
|
|
-Рассмотрим слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
|
|
+\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
|
|
|
+
|
|
|
+Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
|
|
|
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
|
|
|
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
|
|
|
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
|
|
|
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
|
|
|
-{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$ (рис.
|
|
|
-\ref{fig:geometry}) \cite{bib:imankulova}.
|
|
|
+{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
|
|
|
+будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=17cm]{geom}
|
|
|
\caption{Геометрия изгиба волокна}
|
|
|
- \label{fig:geometry}
|
|
|
+ \label{fig:c2:geometry}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
-В процессе изготовления композита не удается исключить соприкосновения
|
|
|
-нитей основы и утка. Поэтому будем предполагать, что искривленные
|
|
|
-волокна, принадлежащие слою тканого композита с идеальной
|
|
|
-периодической структурой, не всегда окружены гарантированным
|
|
|
-слоем поликристаллической матрицы, в результате чего основа и уток
|
|
|
-соприкасаются. Кроме того, в силу малости деформаций будем считать углы
|
|
|
-$\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
|
|
-
|
|
|
Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
|
|
|
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
|
|
|
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
|
|
|
@@ -33,67 +30,96 @@ $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
|
|
|
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
|
|
|
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
|
|
|
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
|
|
|
-моделирования реакторов.
|
|
|
-
|
|
|
-% На рис.~\ref{fig:defects}~а и б представлен фрагмент слоя тканого композита,
|
|
|
-% армирующий каркас которого образован полотняным переплетением утка и основы
|
|
|
-% (с коэффициентами армирования $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0,14$
|
|
|
-% соответственно). Здесь и далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой
|
|
|
-% системы координат принадлежат плоскости слоя.
|
|
|
-%
|
|
|
-% В рассматриваемом случае локальными концентраторами напряжений
|
|
|
-% являются технологические поры, возникающие в областях, расположенных
|
|
|
-% вблизи участков волокон с наибольшей кривизной (рис.~\ref{fig:pore}), и
|
|
|
-% дефекты, связанные со случайными разрывами нитей утка
|
|
|
-% (рис.~\ref{fig:defects},~а) или основы и утка (рис.~\ref{fig:defects},~б)
|
|
|
-% в процессе прошивки слоев. Обратим внимание на то, что локальные разрывы
|
|
|
-% нитей армирующего каркаса могут иметь место и в исходной ткани до
|
|
|
-% прошивки. Образующаяся в результате полости имеют характерные
|
|
|
-% размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не
|
|
|
-% изменяют значительно интегральные коэффициенты армирования композита,
|
|
|
-% могут оказаться заполненными материалом матрицы (при дополнительном уплотнении
|
|
|
-% с последующей карбонизацией или доосаждением материала из газовой фазы) или
|
|
|
-% оставаться незаполненными.
|
|
|
-%
|
|
|
-% \begin{figure}
|
|
|
-% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
|
|
-% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d1}} \\ а)
|
|
|
-% \end{minipage}
|
|
|
-% \hfill
|
|
|
-% \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
|
|
|
-% % \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d2}} \\ б)
|
|
|
-% \end{minipage}
|
|
|
-% \caption{Локальные разрывы нитей слоя тканого композита}
|
|
|
-% \label{fig:defects}
|
|
|
-% \end{figure}
|
|
|
-%
|
|
|
-% \begin{figure}
|
|
|
-% \centering
|
|
|
-% % \includegraphics[width=0.77\linewidth]{img/pore}
|
|
|
-% \caption{Внутренняя технологическая пора}
|
|
|
-% \label{fig:pore}
|
|
|
-% \end{figure}
|
|
|
+моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
|
|
|
+
|
|
|
+С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
|
|
|
+рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
|
|
|
+очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
|
|
|
+ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
|
|
|
+вычитания из твердотельного прямоугольного параллилепипеда фрагмента ткани,
|
|
|
+после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
|
|
|
+модели тканого композита с поликристаллической матрицей
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
|
|
|
+bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[h]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
|
|
|
+ \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
|
|
|
+а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
|
|
|
+ \label{fig:c2:regular}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
|
|
|
+поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
|
|
|
+далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
|
|
|
+плоскости слоя.
|
|
|
+
|
|
|
+Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
|
|
|
+поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
|
|
|
+(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[h]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
|
|
|
+ \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
|
|
|
+пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
|
|
+ \label{fig:c2:fiber_skip}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[h!]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
|
|
|
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
|
|
|
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
|
|
+ \label{fig:c2:one_fiber_break}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[ht!]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
|
|
|
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
|
|
|
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
|
|
|
+ \label{fig:c2:two_fibers_break}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}[ht!]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
|
|
|
+ \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
|
|
|
+ \label{fig:c2:pore}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
|
|
|
+или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
|
|
|
+размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
|
|
|
+значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
|
|
|
+образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
|
|
|
+вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
|
|
|
+карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
|
|
|
+заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
|
|
|
+
|
|
|
+\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
|
|
|
|
|
|
Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
|
|
|
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
|
|
|
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
|
|
|
-тензора напряжений
|
|
|
-$\sigma_{ij,j} ({\bf r})$
|
|
|
-удовлетворяют
|
|
|
-уравнениям равновесия
|
|
|
+тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
- \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:kov:Eqvilibrium}
|
|
|
+ \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
|
|
|
-с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями
|
|
|
-Коши
|
|
|
+с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
|
|
|
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
|
|
|
-\label{eq:kov:Koshi}
|
|
|
+\label{eq:Koshi}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
|
|
|
@@ -106,96 +132,55 @@ ${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если то
|
|
|
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
|
|
|
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
|
|
|
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
|
|
|
-\label{eq:kov:Guck}
|
|
|
+\label{eq:Guck}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
|
|
|
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
|
|
|
|
|
|
-Краевая задача \eqref{eq:kov:Eqvilibrium}--\eqref{eq:kov:Guck} должна
|
|
|
+Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
|
|
|
быть дополнена граничными условиями
|
|
|
|
|
|
-\begin{equation} u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf
|
|
|
-(r)}|_{\Gamma_1} =
|
|
|
-u_3^0, \label{eq:kov:b_cond}
|
|
|
+\begin{equation}
|
|
|
+ \begin{array}{c}
|
|
|
+ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
|
|
|
+ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
|
|
+ {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
|
|
|
+ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
|
|
+ \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
|
|
|
+ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
|
|
+ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
|
|
+ \end{array}
|
|
|
+ \label{eq:b_cond}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
-$$ u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
|
|
|
-{\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
|
|
|
-$$
|
|
|
-
|
|
|
-$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
|
|
|
- \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} =
|
|
|
- 0,
|
|
|
-$$
|
|
|
-
|
|
|
-$$ \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
|
|
|
- \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} =
|
|
|
- 0,
|
|
|
-$$
|
|
|
-
|
|
|
-\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное
|
|
|
-равнокомпонентное деформирование в плоскости слоя и условиями
|
|
|
-идеального сопряжения
|
|
|
+\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
|
|
|
+деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
-\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
|
|
-\left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
|
|
-\left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i {\bf
|
|
|
-(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} \label{eq:kov:b_cond_ideal}
|
|
|
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
|
|
|
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
|
|
|
+ \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
|
|
|
+ {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}}
|
|
|
+ \label{eq:b_cond_ideal}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
-\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:b_cond}).
|
|
|
+\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[!ht]
|
|
|
\centering
|
|
|
-% \includegraphics[width=0.53\linewidth]{img/gu}
|
|
|
- \caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
|
|
|
- \label{fig:b_cond}
|
|
|
+ \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
|
|
|
+ \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
|
|
|
+ \label{fig:c2:b_cond}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
-В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
|
|
|
-нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
|
|
|
-$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
|
|
|
-в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
|
|
|
-с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия:
|
|
|
-
|
|
|
-\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
|
|
|
-\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
|
|
|
-\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{equation}
|
|
|
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
|
|
|
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
|
|
-\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
|
|
-(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
|
|
|
-\label{eq:kov:b_cond_Colomb_1}
|
|
|
-\end{equation}
|
|
|
-
|
|
|
-\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
|
|
|
-|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
|
|
|
-|_{\Gamma_9^{-}}$, то
|
|
|
-
|
|
|
-\begin{equation}
|
|
|
-\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
|
|
|
-f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
|
|
|
-\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
|
|
|
-(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:kov:b_cond_Colomb_2}
|
|
|
-\end{equation}
|
|
|
-
|
|
|
-\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
|
|
|
---- определяют направление внешней нормали и касательной к
|
|
|
-поверхности $\Gamma_9$.
|
|
|
-
|
|
|
-Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
|
|
|
-исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
|
|
|
-для материала матрицы, имеют внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на
|
|
|
-которой отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна
|
|
|
-от напряжений:
|
|
|
+Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполенные матрицей имеют
|
|
|
+внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
|
|
|
+перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
-\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
|
|
-\label{eq:kov:b_cond_free}
|
|
|
+ \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
|
|
|
+ \label{eq:b_cond_free}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
|
