Chapter 1 was fixed. Spellcheking

c1.tex

@@ -68,7 +68,7 @@ $500~\text{г}/\text{м}^2$.
 
 Для изготовления каркаса изделия, заготовки из ткани или ленты выкладываются на
 оправку с последующей прошивкой слоев по третьей координате, при этом, в местах
-пршивки возможно возникновение разрывов волокон основы и утка. 
+прошивки возможно возникновение разрывов волокон основы и утка. 
 
 \subsection{Матричные материалы}
 
@@ -362,11 +362,193 @@ $6\dots100$~МПа при температуре $550\dots 650^\circ\mathrm{C}$.
 а влияние матрицы на формирование жесткости указанного направления весьма
 значительно.
 
-\section{Экспериментальные закономерности влияния локальных концентраторов
-напряжений на деформационные и прочностные свойства тканых композитов с
-поликристаллической матрицей}
+\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с локальными
+технологическими дефектами}
+
+\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
+\label{c1:geometry}
+
+Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
+переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
+постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
+Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
+дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
+{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
+(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
+будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
+
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geom}
+ \caption{Геометрия изгиба волокна}
+ \label{fig:c2:geometry}
+\end{figure}
+
+Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
+помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
+собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
+программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
+параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
+приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
+SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
+NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
+моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
+
+С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
+рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
+очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
+ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
+вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
+после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
+модели тканого композита с поликристаллической матрицей
+(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
+bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
+
+\begin{figure}[ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
+ \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
+а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
+ \label{fig:c2:regular}
+\end{figure}
+
+Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
+поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
+далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
+плоскости слоя.
+
+Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
+поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
+(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
+(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
+(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
+(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
+
+\begin{figure}[ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
+пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:fiber_skip}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:one_fiber_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
+дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
+ \label{fig:c2:two_fibers_break}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+ \centering
+ \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
+ \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
+ \label{fig:c2:pore}
+\end{figure}
+
+Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
+или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
+размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
+значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
+образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
+вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
+карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
+заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
+
+\clearpage
+
+\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
+
+Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
+тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
+взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
+тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
+
+\begin{equation}
+ \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
+\end{equation}
+
+\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
+с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 
+
+\begin{equation}
+\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
+r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
+\label{eq:Koshi}
+\end{equation}
+
+Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
+кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
+${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
+или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
+записаны следующим образом:
+
+\begin{equation}
+\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
+C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
+\varepsilon_{kl}({\bf r}),
+\label{eq:Guck}
+\end{equation}
+
+\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
+коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
+
+Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
+быть дополнена граничными условиями
+
+\begin{equation} 
+ \begin{array}{c}
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
+  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
+  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
+  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
+  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
+ \end{array}
+ \label{eq:b_cond}
+\end{equation}
+
+\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
+деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
+
+\begin{equation}
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
+ \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
+ \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
+ {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
+ \label{eq:b_cond_ideal}
+\end{equation}
+
+\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
+
+\begin{figure}[!ht]
+ \centering
+ \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
+ \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
+ \label{fig:c2:b_cond}
+\end{figure}
+
+Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
+внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
+перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:
+
+\begin{equation}
+ \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
+ \label{eq:b_cond_free}
+\end{equation}
 
-%TODO: Написать вторую часть первой главы
+а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
+поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.
 
 \section*{Выводы к первой главе}
 \addcontentsline{toc}{section}{Выводы к первой главе}

c2.tex

@@ -6,186 +6,6 @@
 \section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения тканого композита с
 поликристаллической матрицей}
 
-\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
-\label{c1:geometry}
-
-Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
-переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
-постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
-Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
-дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
-{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
-(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
-будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.
-
-\begin{figure}
- \centering
- \includegraphics[width=17cm]{geom}
- \caption{Геометрия изгиба волокна}
- \label{fig:c2:geometry}
-\end{figure}
-
-Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
-помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
-собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
-программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
-параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
-приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
-SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
-NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
-моделирования реакторов \cite{bib:salome}.
-
-С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
-рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
-очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
-ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
-вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
-после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
-модели тканого композита с поликристаллической матрицей
-(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
-bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.
-
-\begin{figure}[ht]
- \centering
- \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
- \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
-а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
- \label{fig:c2:regular}
-\end{figure}
-
-Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
-поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
-далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
-плоскости слоя.
-
-Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
-поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
-(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
-(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
-(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
-(рис.~\ref{fig:c2:pore}).
-
-\begin{figure}[ht]
- \centering
- \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
- \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
-пропитки (а) и с пропиткой (б)}
- \label{fig:c2:fiber_skip}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[ht!]
- \centering
- \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
- \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
-дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
- \label{fig:c2:one_fiber_break}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[ht!]
- \centering
- \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
- \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
-дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
- \label{fig:c2:two_fibers_break}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[ht!]
- \centering
- \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
- \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
- \label{fig:c2:pore}
-\end{figure}
-
-Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
-или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
-размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
-значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
-образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
-вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
-карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
-заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.
-
-\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}
-
-Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
-тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
-взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
-тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия
-
-\begin{equation}
- \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
-\end{equation}
-
-\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
-с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 
-
-\begin{equation}
-\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
-r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
-\label{eq:Koshi}
-\end{equation}
-
-Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
-кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
-${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
-или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
-записаны следующим образом:
-
-\begin{equation}
-\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
-C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
-\varepsilon_{kl}({\bf r}),
-\label{eq:Guck}
-\end{equation}
-
-\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
-коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.
-
-Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
-быть дополнена граничными условиями
-
-\begin{equation} 
- \begin{array}{c}
-  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
-  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
-  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
-  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
-  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
-  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
-  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
- \end{array}
- \label{eq:b_cond}
-\end{equation}
-
-\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное равнокомпонентное
-деформирование в плоскости слоя и условиями идеального сопряжения
-
-\begin{equation}
- \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
- \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
- \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
- {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
- \label{eq:b_cond_ideal}
-\end{equation}
-
-\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).
-
-\begin{figure}[!ht]
- \centering
- \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
- \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
- \label{fig:c2:b_cond}
-\end{figure}
-
-Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
-внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
-перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений:
-
-\begin{equation}
- \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
- \label{eq:b_cond_free}
-\end{equation}
-
 \section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
 и квазипериодическим расположением волокон}
 

c3.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \chapter{Влияние локальных полей напряжений на прочностные свойства тканых
-композитов с поикристаллической матрицей с учётом трения между волокнами}
+композитов с поликристаллической матрицей с учётом трения между волокнами}
 
 В главе\inthirdtext
 
@@ -22,7 +22,7 @@
 разделе~\ref{c1:geometry}, за исключением того что расстояние между волокнами в
 точках максимальных кривизн равно нулю (рис.~\ref{fig:c3:fibers}), а в матрице,
 вблизи максимальных кривизн волокон всегда присутствуют внутренние
-технологические поры из-за невозможности заполнить это простаранство материалом
+технологические поры из-за невозможности заполнить это пространство материалом
 матрицы (рис.~\ref{fig:c3:matrix}).
 
 \begin{figure}[ht]
@@ -40,7 +40,7 @@
 \end{figure}
 
 В качестве дефектов, вызывающих концентрации напряжений будем рассматривать
-типичные дефекты, возникающие вследствии очень плотного расположения волокон
+типичные дефекты, возникающие вследствие очень плотного расположения волокон
 --- разрыв волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~а) и разрывы волокон основы и
 утка (рис.~\ref{fig:c3:d2d4}~а). Кроме того рассмотрим случаи когда пора в
 матрице, образованная дефектом заполняется материалом матрицы в ходе
@@ -122,7 +122,7 @@
 \subsection{Численное решение краевой задачи упругости}
 
 Для численного решения задачи равнокомпонетного растяжения тканого композита с
-искривленными волокнами и поликристаллическкой матрицей в плоскости слоя
+искривленными волокнами и поликристаллической матрицей в плоскости слоя
 необходимо задать свойства материала. Модуль Юнга $E_f
 = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0,20$ волокон зададим
 в соответствии с данными работы \cite{bib:tarnapolsky}, а упругие модули
@@ -136,7 +136,7 @@
 (рис.~\ref{fig:c3:mesh:matrix}), а волокно --- 20-узловыми гексаэдральными
 элементами (рис.~\ref{fig:c3:mesh:fibers}). Степень дискретизации
 конечно-элементной сетки будем выбирать таким образом, чтобы дальнейшее
-ументшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не
+уменьшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не
 влияло на значения структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое
 тканого композита. Параметры сеток, удовлетворяющих этим условиям показаны в
 таблице~\ref{tab:c3:discr}.
@@ -267,7 +267,7 @@
 \end{figure}
 
 \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
-соприкасащимися волокнами при чистом сдвиге}
+соприкасающимися волокнами при чистом сдвиге}
 
 Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
 \ref{eq:b_cond_ideal}~--~\ref{eq:b_cond:s2},
@@ -358,7 +358,7 @@ $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ т
 интенсивностей напряжений до $2{,}6$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). 
 
 \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с
-соприкасащимися волокнами при одноосном растяжении}
+соприкасающимися волокнами при одноосном растяжении}
 
 Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями
 \ref{eq:b_cond_ideal}, \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3},
@@ -371,7 +371,7 @@ $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ т
 показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s3}, строго периодичны, что говорит о
 корректности полученного решения.
 
-В таблице \ref{tab:c3:max_k_s3} показаны макисмальные безразмерные коэффициенты
+В таблице \ref{tab:c3:max_k_s3} показаны максимальные безразмерные коэффициенты
 концентрации напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов
 волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей
 при одноосном растяжении. Максимальный вклад в коэффициенты концентраций вносит
@@ -440,7 +440,7 @@ $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ т
 
 Максимальных значений коэффициенты концентрации достигают в местах наибольшей
 кривизны волокон. Для материала с локальным разрывом волокна основы значения
-коэффициентов концентрации интенсивностей напяжений достигают $2{,}3$, а при
+коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений достигают $2{,}3$, а при
 одновременном разрыве волокон основы и утка --- $2{,}5$, причем заполнение
 поры, образовавшейся вследствие наличия локального дефекта, материалом
 поликристаллической матрицы, путем дополнительной пропитки конструкции или
@@ -453,7 +453,7 @@ $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ т
 
 \begin{enumerate}
  \item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с
-искривленными волокнами и поликристалической матрицей с идеальной
+искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
 периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
 разрыв волокна основы и одновременный разрыв волокон основы и утка с учетом
 контакта с трением между волокнами.