uam/c3.tex

%\chapter[Определяющие соотношения УАМ]{Определяющие \\ соотношения УАМ}
%\label{c3}
%
% \section[Общая характеристика определяющих соотношений]{Общая характеристика определяющих \\ соотношений}
% 
% В теории деформаций (Глава \ref{c1}) кинематика сплошной среды\footnote{То есть описание перемещений точек, вычисление удлинений линейных элементов и изменений углов между ними.} рассматривалось вне зависимости от физических воздействий. В теории напряжений (Глава \ref{c2}) изучались внутренние силы, возникающие в теле или в материале, возникающие в результате физического воздействия, при этом ни в теории деформаций, ни в теории напряжений не учитывались конкретные свойства материала, их способность сопротивляться внешним силам.
% 
% Очевидно, что между кинематическими и статическими параметрами внутреннего состояния деформируемого материала\footnote{То есть между деформациями и напряжениями.} должна существовать связь.
% В общем виде эта связь может быть отражена математической зависимостью следующего вида:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:sigma}
%  \sigma_{ij} = \mathcal{F}_{ij}(\varepsilon_{kl},T,\tau,\dots).
% \end{equation}
% 
% Напряжения $\sigma_{ij}$, деформации $\varepsilon_{kl}$, температура $T$, время $\tau$ --- величины, связанные с внутренним состоянием материала, а $\mathcal{F}_{ij}$ --- тензор-оператор, устанавливающий связь между напряжениями $\sigma_{ij}$ и другими параметрами внутреннего состояния. Соотношение вида (\ref{c3:sigma}) должно выполняться в каждой точке деформируемого материала. По аналогии с выражением (\ref{c3:sigma}) можно записать и другое соотношение:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:epsilon}
%  \varepsilon_{ij} = \Phi_{ij} (\sigma_{kl},T,\tau,\dots).
% \end{equation}
% 
% Соотношения (\ref{c3:epsilon}) являются обратными по отношению к соотношениям (\ref{c3:sigma}). Выражения (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) называются определяющими соотношениями упругости анизотропных материалов. Если из соотношений (\ref{c3:sigma}) можно получить (\ref{c3:epsilon}), и, наоборот, из (\ref{c3:epsilon}) --- (\ref{c3:sigma}), то определяющие соотношения являются обратимыми. В соотношениях (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) время $\tau$ отображает историю изменения внутреннего состояния материала на момент времени $\tau = t$ \marginpar{$0 \leq \tau \leq t$} для которого записаны выражения (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}). Определяющие соотношения не только устанавливают связь между величинами, которые характеризуют внутреннее состояние материала, но и отражают физические (деформационные) свойства конкретных материалов.
% 
% С помощью определяющих соотношений свойства конкретных материалов придаются изучаемым моделям. Для построения определяющих соотношений
% (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) проводят эксперименты по физическому воздействию на образцы материалов. Из обработки этих экспериментов устанавливают конкретный вид зависимостей (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) и значения входящих в эти зависимости констант. Поэтому такие эксперименты называют установочными экспериментами, а константы в выражениях (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) --- материальными константами. Если в определяющих соотношениях (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) отсутствует переменная $\tau$, то есть взаимосвязь параметров внутреннего состояния определяется только значениями этих параметров в конкретное время $\tau = t$, то такие материалы и определяющие соотношения называются склерономными, в противном случае --- реономными. Если свойства материала не зависят от температуры $T$ в его точках, то такой материал называется термостабильным. Если материал является неоднородным\footnote{То есть его свойства изменяются от точки к точке.}, то, соответственно, и определяющие соотношения (\ref{c3:sigma}) и (\ref{c3:epsilon}) не будут одинаковыми для всех точек материала, и, соответственно, будут являться неоднородными, при этом важно, что будут изменяться и материальные константы. Если материальные константы представляют собой быстро осциллирующие функции, то такой материал называется микронеоднородным. Если при этом быстро осциллирующие функции являются кусочно постоянными, то такой материал называется композиционным.
% 
% \section{Обобщенный закон Гука}
% 
% Наиболее простым математическим соотношением, соответствующим определяющему соотношению (\ref{c3:sigma}) является выражение вида:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:sigma_tenz}
%  \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} + c_{ij}.
% \end{equation}
% 
% Выражение (\ref{c3:sigma_tenz}) является тензорно линейным\footnote{Соответствует линейной функции $y = ax + b$} и содержит два тензора-константы --- $C_{ijkl}$ и $c_ij$. Из гипотезы о естественном начальном состоянии деформируемого тела (если напряжения равны нулю, то и деформации равны нулю) следует, что $c_{ij} = 0$, следовательно, получаем:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:guk_sigma}
%  \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}.
% \end{equation}
% 
% Это соотношение называется обобщенный закон Гука однородного анизотропного материала. Соответственно, по аналогии с выражением (\ref{c3:epsilon}), можно записать:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:guk_epsilon}
%  \varepsilon_{ij} = D_{ijkl}\sigma_{kl}.
% \end{equation}
% 
% Выражение (\ref{c3:guk_epsilon}) полностью эквивалентно выражению (\ref{c3:guk_sigma}) и также является формой записи обобщенного закона Гука. В силу линейности выражений (\ref{c3:guk_sigma}) и (\ref{c3:guk_epsilon}) они являются взаимно обратимыми. Тензоры констант $C_{ijkl}$ и $D_{ijkl}$ называются тензором модуля упругости и тензором упругих податливостей соответственно. $C_{ijkl}$ и $D_{ijkl}$ являются тензорами IV ранга, каждый из них содержит 81 компоненту. Тензоры $C_{ijkl}$ и $D_{ijkl}$ являются материальными константами упругости анизотропных материалов.
% 
% Обобщенный закон Гука описывает связь между напряжениями и деформациями при действии внешних сил, однако, деформации в материале могут возникать и в следствии изменения температуры. Наиболее простые с математической точки зрения тензорно-линейные соотношения связывающие температурные деформации с изменением температуры имеют вид:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:temp_def}
%  \varepsilon_{ij}^T = \alpha_{ij}\Delta T.
% \end{equation}
% 
% Где $\varepsilon_{ij}^T$ --- тензор деформаций, вызванных изменением температуры, $\Delta T$ --- изменение температуры в точке, а $\alpha_{ij}$ --- тензор коэффициентов линейного теплового расширения. Тензор $\alpha_{ij}$ тоже является материальной константой и представляет собой симметричный\footnote{Симметрия $\alpha_{ij}$ следует из симметрии $\varepsilon_{ij}$} тензор II ранга.
% 
% При одновременном действии внешних сил и изменении температуры в точках, определяющие соотношения термоупругости анизотропных материалов
% можно записать в виде:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:termoup}
%  \sigma_{ij} = C_{ijkl}\left(\varepsilon_{kl} - \varepsilon_{kl}^T\right).
% \end{equation}
% 
% Где $\sigma_{ij}$ --- напряжения в точке, $\varepsilon_{kl}$ --- полная упругая деформация в точке, а $\varepsilon_{kl}^T$ --- температурная деформация.
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:duamel_neyman}
%  \sigma_{ij} = C_{ijkl}\left(\varepsilon_{kl} - \alpha_{kl}\Delta T\right).
% \end{equation}
% 
% Соотношение (\ref{c3:duamel_neyman}) --- гипотеза Дюамеля-Неймана --- представляет собой простейшее определяющее соотношение упругости анизотропных материалов.
% 
% Если выражения (\ref{c3:termoup}) и (\ref{c3:duamel_neyman}) обратить, то есть связать деформации с напряжениями, то получим следующие эквивалентные соотношения:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:epsilon_dn}
%  \varepsilon_{ij} = D_{ijkl}\sigma_{kl} + \varepsilon_{ij}^T.
% \end{equation}
% 
% \section{Упругий потенциал}
% 
% В упругости анизотропных материалов используются скалярные величины, которые называются потенциалами напряжений и деформаций. Например, для
% тензора напряжений можно записать:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:sigma_ij}
%  \sigma_{ij} = \frac{\partial W(\varepsilon_{kl})}{\partial\varepsilon_{ij}}.
% \end{equation}
% 
% Где $W$ --- потенциал тензора напряжений (упругий потенциал). Упругий потенциал соответствующий обобщенному закону Гука имеет вид:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:W}
%  W = \frac{1}{2} C_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}.
% \end{equation}
% 
% $W$ называют также квадратичной формой тензора деформаций. Можно доказать, что для симметричного тензора II ранга квадратичная форма всегда есть величина неотрицательная ($W \leq 0$). Упругий потенциал $W$ имеет и физический смысл --- потенциальная энергия деформации материальной частицы или удельная упругая энергия деформации. Величина $W$ равна нулю только в том случае, когда $\varepsilon_{ij}$ и $\sigma_{ij}$ равны нулю.
% 
% Рассмотрим условие симметрии тензоров модулей упругости $C_{ijkl}$ и \\ упругих податливостей $D_{ijkl}$. В силу симметрии $\varepsilon_{ij}$ и $\sigma_{ij}$:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:C}
%  C_{ijkl} = C_{jikl} = C_{ijlk} = C_{jilk}.
% \end{equation}
% 
% Можно понять, что условия симметрии (\ref{c3:C}) сокращают количество независимых постоянных тензора $C_{ijkl}$ с 81 до 36. Одновременно, условия потенциальности тензора напряжений (\ref{c3:W}) приводит к соотношению:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:C1}
%  C_{ijkl} = C_{klij}.
% \end{equation}
% 
% По-парная перестановка индексов (\ref{c3:C1}) с учетом применения ее к условиям (\ref{c3:C}) дополнительно сокращает число независимых компонент тензора $C_{ijkl}$ до 21. Самому общему случаю анизотропии упругих материалов соответствует тензор $C_{ijkl}$ с 21 независимой компонентой.

\section[Частные случаи анизотропии упругих свойств]{Частные случаи анизотропии \\ упругих свойств}

Из экспериментов известно, что свойства материалов могут отличаться от точки к точке и в каждой точке могут быть различными для разных направлений. Поэтому по термоупругим свойствам материалы разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой --- на изотропные и анизотропные.

Материалы, в которых термоупругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а материалы с различными термоупругими свойствами в различных точках --- неоднородными. Композиты считаются однородными на макроуровне, когда характеризуются эффективными свойствами, одинаковыми во всех точках. На структурном уровне композиты являются неоднородными, поскольку их термоупругие свойства изменяются скачкообразно при переходе от точки к точке через межфазную поверхность (например, от матрицы к волокну).

Материалы, термоупругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными в данной точке, а материалы, термоупругие свойства которых различны для различных направлений, проведенных через данную точку --- анизотропными в данной точке.

Однородный материал, изотропный хотя бы в одной точке, является изотропным материалом. Соответственно, однородный материал, анизотропный
хотя бы в одной точке, является анизотропным.

Проявление анизотропии свойств связано со структурой материалов. Выделяют конструкционную, технологическую и физическую анизотропию свойств
материалов.

Конструкционная анизотропия термоупругих свойств композитов ``закладывается'' в материал при его создании и обусловлена различием термоупругих свойств компонентов композита, их геометрическим параметрами и характером взаимного расположения. Анизотропия свойств композитов связана с ориентацией волокон в матрице, характером чередования слоев и так далее.

Технологическая (деформационная) анизотропия свойств возникает при деформировании материалов под действием нагрузки и связана с возникновением структуры (текстуры), определенным образом ориентированной по отношению к нагрузке. Например, анизотропия свойств при пластическом деформировании металлов или при деформировании керамик с образованием одинаково ориентированных дискообразных микротрещин.

Физическая анизотропия присуща кристаллам и связана с особенностями строения их кристаллической решетки.

%Анизотропия термоупругих свойств отражается при задании тензоров модулей упругости $C_{ijkl}$ (или модулей упругих податливостей $D_{ijkl}$) и коэффициентов теплового расширения $\alpha_{ij}$.

В самом общем случае симметричные тензоры модулей упругости $C_{ijkl}$ 
%и коэффициентов теплового расширения $\alpha_{ij}$ 
содержат 
%соответственно 
21 независимый коэффициент 
%и 6 независимых коэффициентов
, которые могут быть представлены в виде матриц:

\begin{equation}
 \label{c3:C_matr}
 \left\|
 \begin{array}{cccccc}
  C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\
  C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\
  C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\
  C_{1123} & C_{2223} & C_{3323} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\
  C_{1131} & C_{2231} & C_{3331} & C_{2331} & C_{3131} & C_{3112} \\
  C_{1112} & C_{2212} & C_{3312} & C_{2312} & C_{3112} & C_{1212}
 \end{array}
  \right\|
%,
%  \left\|
%  \begin{array}{ccc}
%   \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\
%   \alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\
%   \alpha_{13} & \alpha_{23} & \alpha_{33} 
%  \end{array}
%  \right\|
\end{equation}

Симметрия термоупругих свойств анизотропных композитов обусловлена симметричностью их структуры.

% Значительное уменьшение числа независимых материальных констант получим в материалах, структура которых имеет двукратную ось симметрии. Говорят, что структура имеет ось симметрии n-ого порядка, если упругий потенциал $W(\varepsilon_{ij})$ и напряжения не изменятся после каждого поворота этой оси на угол $\frac{2\pi}{n}$. В случае двукратной оси симметрии после каждого поворота системы координат на угол $180$\textdegree~относительно этой оси число отличных от нуля постоянных должно оставаться тем же самым. Допустим, что двукратной осью является ось $X_3$. При повороте системы координат $X'_i$ относительно двукратной оси $X_3$ на $180$\textdegree~получим: $X'_1 = −X_1$, $X'_2 = −X_2$, $X'_3 = X3$. В матрицах (\ref{c3:C_matr}) остается 13 коэффициентов $C_{ijkl}$ и 4 коэффициента $\alpha_{ij}$. Матрицы (\ref{c3:C_matr}) принимают вид:
% 
% \begin{equation}
%  \label{c3:C_matr1}
%  \left\|
%  \begin{array}{cccccc}
%   C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & 0        & 0        & C_{1112} \\
%   C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & 0        & 0        & C_{2212} \\
%   C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & 0        & 0        & C_{3312} \\
%   0        & 0        & 0        & C_{2323} & C_{2331} & 0        \\
%   0        & 0        & 0        & C_{2331} & C_{3131} & 0        \\
%   C_{1112} & C_{2212} & C_{3312} & 0        & 0        & C_{1212}
%  \end{array}
%  \right\|,
%  \left\|
%  \begin{array}{ccc}
%   \alpha_{11} & \alpha_{12} & 0           \\
%   \alpha_{12} & \alpha_{22} & 0           \\
%   0           & 0           & \alpha_{33} 
%  \end{array}
%  \right\|
% \end{equation}
% 
% Тринадцать коэффициентов $C_{ijkl}$ и четыре коэффициента $\alpha_{ij}$ соответствуют анизотропным материалам моноклинной системы. Материал обладает одной плоскостью упругой симметрии (плоскость $X_1 X_2$).

Если предположить, что анизотропный материал имеет две взаимно ортогональные двукратные оси симметрии, например, ось $X_1$ и ось $X_3$, то поучаем следующую матрицу коэффициентов $C_{ijkl}$:

\begin{equation}
 \label{c3:C_matr1}
 \left\|
 \begin{array}{cccccc}
  C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & 0        & 0        & 0        \\
  C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & 0        & 0        & 0        \\
  C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & 0        & 0        & 0        \\
  0        & 0        & 0        & C_{2323} & 0        & 0        \\
  0        & 0        & 0        & 0        & C_{3131} & 0        \\
  0        & 0        & 0        & 0        & 0        & C_{1212}
 \end{array}
 \right\|
\end{equation}

Такая система характеризуется 9 постоянными $C_{ijkl}$ и называется ортотропной системой. Этот случай соответствует ромбическому типу структуры материала. ортотропные материалы обладают двумя плоскостями упругой симметрии (плоскости $X_1 X_2$ и $X_2 X_3$). Можно показать, что существование трех двукратных осей симметрии не приводит к дальнейшему сокращению числа независимых констант $C_{ijkl}$. Отсюда следует, что если в теле имеют место две ортогональные плоскости упругой симметрии, то и ортогональная к ним третья плоскость также будет плоскостью упругой симметрии.

Рассмотрим гексагональную систему анизотропного материала. В этой системе потребуем, чтобы свойства тела не зависели от поворота системы вокруг оси $X$, то есть при следующем преобразовании координат: $X'_1 = X_1\cos\Theta + X_2\sin\Theta$, $X'_2 = X_1\sin\Theta + X_2\cos\Theta$, $X'_3 = X_3$.

Матрицы коэффициентов принимают следующий вид:

\begin{equation}
 \label{c3:C_matr2}
 \begin{array}{c}
  \left\|
  \begin{array}{cccccc}
    C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & 0        & 0        & 0        \\
    C_{1122} & C_{2222} & C_{2233} & 0        & 0        & 0        \\
    C_{1133} & C_{2233} & C_{3333} & 0        & 0        & 0        \\
    0        & 0        & 0        & C_{1313} & 0        & 0        \\
    0        & 0        & 0        & 0        & C_{1313} & 0        \\
    0        & 0        & 0        & 0        & 0        & \frac{1}{2}(C_{1111} - C_{1122})
  \end{array}
  \right\|
% , \\
%   \left\|
%   \begin{array}{ccc}
%     \alpha_{11} & 0           & 0           \\
%     0           & \alpha_{11} & 0           \\
%     0           & 0           & \alpha_{33} 
%   \end{array}
%   \right\|
 \end{array}
\end{equation}

Для материалов с гексагональной симметрией в матрицы коэффициентов входят пять независимых констант для тензора $C_{ijkl}$
% и две для тензора $\alpha_{ij}$
. Такие материалы называют трансверсально-изотропными (или сокращенно транстропными), так как для них плоскость симметрии свойств (в настоящем случае плоскость $X_1 X_2$) является плоскостью изотропии, то есть термоупругие свойства материала одинаковы для всех направлений, лежащих в этой плоскости.

Рассмотрим материал, который характеризуется гексагональной симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей. Получаем матрицы коэффициентов:

\begin{equation}
 \label{c3:C_matr3}
 \begin{array}{c}
  \left\|
  \begin{array}{cccccc}
    C_{1111} & C_{1122} & C_{1122} & 0        & 0        & 0        \\
    C_{1122} & C_{1111} & C_{1122} & 0        & 0        & 0        \\
    C_{1122} & C_{1122} & C_{1111} & 0        & 0        & 0        \\
    0        & 0        & 0        & \frac{(C_{1111} - C_{1122})}{2} & 0        & 0        \\
    0        & 0        & 0        & 0        & \frac{(C_{1111} - C_{1122})}{2} & 0        \\
    0        & 0        & 0        & 0        & 0        & \frac{(C_{1111} - C_{1122})}{2}
  \end{array}
  \right\|
% , \\
%   \left\|
%   \begin{array}{ccc}
%     \alpha_{11} & 0           & 0           \\
%     0           & \alpha_{11} & 0           \\
%     0           & 0           & \alpha_{11} 
%   \end{array}
%   \right\|
 \end{array}
\end{equation}

включающие две независимые константы тензора $C_{ijkl}$ 
%и одну константу тензора $\alpha_{ij}$
. Таким образом, материал, характеризуемый гексагональной симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей, обладает изотропией термоупругих свойств и называется изотропным.

\section[Технические постоянные УАМ]{Технические постоянные \\ упругости анизотропных материалов}

Компоненты тензоров $C_{ijkl}$ (или $D_{ijkl}$)
% и $\alpha_{ij}$ 
являются материальными константами материала и характеризуют его термоупругие свойства, причем число таких независимых констант определяется симметрией материала и, соответственно, симметрией тензоров $C_{ijkl}$ (или $D_{ijkl}$)
% и $\alpha_{ij}$
.

Однако на практике удобнее пользоваться не компонентами тензора \\ $C_{ijkl}$ (или $D_{ijkl}$), а так называемыми техническими постоянными материала, характеризующими жесткость при некоторых простейших видах нагружения (одноосное растяжение, чистый сдвиг, гидростатическое сжатие и др.).

В общем случае физические уравнения (\ref{c3:epsilon_dn}) термоупругости анизотропного материала с триклинной системой структуры при цифровой системе индексов имеют вид:

\begin{equation}
 \label{c3:phiz_equat}
 \left\{
 \begin{array}{ll}
  \varepsilon_{11} & = \frac{1}{E_1}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{21}}{E_2}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{31}}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{\varkappa_{12,1}}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{\varkappa_{23,1}}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{\varkappa_{13,1}}{2G_{13}}\sigma_{13} 
%+ \alpha_{11}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{22} & = -\frac{\upsilon_{12}}{E_1}\sigma_{11} + \frac{1}{E_2}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{32}}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{\varkappa_{12,2}}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{\varkappa_{23,2}}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{\varkappa_{13,2}}{2G_{13}}\sigma_{13} 
%+ \alpha_{22}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{33} & = -\frac{\upsilon_{13}}{E_1}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{23}}{E_2}\sigma_{22} + \frac{1}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{\varkappa_{12,3}}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{\varkappa_{23,3}}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{\varkappa_{13,3}}{2G_{13}}\sigma_{13}
% + \alpha_{33}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{12} & = \frac{\varkappa_{1,12}}{E_1}\sigma_{11} + 
                       \frac{\varkappa_{2,12}}{E_2}\sigma_{22} + 
                       \frac{\varkappa_{3,12}}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{1}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{\eta_{23,12}}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{\eta_{13,12}}{2G_{13}}\sigma_{13} 
%+ \alpha_{12}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{23} & = \frac{\varkappa_{1,23}}{E_1}\sigma_{11} + 
                       \frac{\varkappa_{2,23}}{E_2}\sigma_{22} + 
                       \frac{\varkappa_{3,23}}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{\eta_{12,23}}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{1}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{\eta_{13,23}}{2G_{13}}\sigma_{13} 
%+ \alpha_{23}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{13} & = \frac{\varkappa_{1,13}}{E_1}\sigma_{11} + 
                       \frac{\varkappa_{2,13}}{E_2}\sigma_{22} + 
                       \frac{\varkappa_{3,13}}{E_3}\sigma_{33} + \\
                   & + \frac{\eta_{12,13}}{2G_{12}}\sigma_{12} + 
                       \frac{\eta_{23,13}}{2G_{23}}\sigma_{23} + 
                       \frac{1}{2G_{13}}\sigma_{13}
 %+ \alpha_{13}\Delta T
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

где для $i,j,k,l = 1,2,3$ имеем:

$E_i$ --- модули нормальной упругости (модули Юнга) для направлений $X_1$, $X_2$ и $X_3$ соответственно, определяющие величину линейной деформации в направлении $X_i$ (то есть деформации $\varepsilon_{ii}$) при действии одних только нормальных напряжений в этом же направлении (то есть напряжений $\sigma_{ii}$);

$G_{ij}$ --- модули сдвига для плоскостей $X_1 X_2$, $X_2 X_3$ и $X_1 X_3$, определяющие величину сдвиговой деформации в плоскости $X_i X_j$ (то есть деформации $\varepsilon_{ij}$) при действии одних только касательных напряжений в этой же плоскости (то есть напряжений $\sigma_{ij}$);

$\upsilon_{ij}$ --- коэффициенты Пуассона, определяющие величину линейной деформации в направлении $X_j$ (то есть деформации $\varepsilon_{jj}$) при действии одних только нормальных напряжений в направлении $X_i$ (то есть напряжений $\sigma_{ii}$);

$\varkappa_{kl,i}$ --- коэффициенты взаимного влияния, определяющие величину линейной деформации в направлении $X_i$ (то есть деформации $\varepsilon_{ii}$) при действии одних только касательных напряжений в плоскости $X_k X_l$ (то есть напряжений $\sigma_{kl}$);

$\varkappa_{i,kl}$ --- коэффициенты взаимного влияния, определяющие величину \\ сдвиговой деформации в плоскости $X_k X_l$ (то есть деформации $\varepsilon_{kl}$) при действии одних только нормальных напряжений в направлении $X_i$ (то есть напряжений $\sigma_{ii}$);

$\eta_{ij,kl}$ --- коэффициенты взаимного влияния (коэффициенты Ченцова), определяющие величину сдвиговой деформации в плоскости $X_k X_l$ (то есть деформации $\varepsilon_{kl}$) при действии одних только касательных напряжений в плоскости $X_i X_j$ (то есть напряжений $\sigma_{ij}$);

%$\alpha_{ij}$ --- коэффициенты линейного теплового расширения, определяющие величину деформации $\varepsilon_{ij}$ в отсутствие напряжений при изменении температуры материала на величину $\Delta T$.

Таким образом, индексы у коэффициентов взаимного влияния, стоящие до запятой, означают направление напряжения, вызвавшего деформацию, а индексы, стоящие после запятой --- направление деформации.

Всего в уравнениях (\ref{c3:phiz_equat}), связывающих шесть компонент симметричного тензора деформаций $\varepsilon_{ij}$ с шестью компонентами симметричного тензора напряжений, содержится $6\times6 = 36$ коэффициентов уравнений, из них три модуля Юнга $E_i$, три модуля сдвига $G_{ij} = G_{ji}$, ($i \neq j$), шесть коэффициентов Пуассона $\upsilon_{ij}$, ($i \neq j$), по девять коэффициентов взаимного влияния $\varkappa_{kl,i}$ и $\varkappa_{i,kl}$, $(k \neq l)$, шесть коэффициентов Ченцова $\eta_{ij,kl}$ ($i \neq j$, $k \neq l$, $i \neq k$ при $i = l$, $j \neq l$, при $i = k$). Однако количество независимых постоянных материала равно 21, а следовательно, и число независимых технических постоянных должно быть таким же. Поэтому существуют дополнительные 15 соотношений, связывающие технические постоянные уравнений (\ref{c3:phiz_equat}) между собой (по повторяющимся индексам не суммировать!):

\begin{equation}
 \label{c3:add_sootn}
 \begin{array}{l}
  \frac{\upsilon_{kl}}{E_k} = \frac{\upsilon_lk}{E_l} \\
  \frac{\varkappa_{i,kl}}{E_i} = \frac{\varkappa_{kl,i}}{2G_{kl}} \\
  \frac{\eta_{ij,kl}}{G_{ij}} = \frac{\eta_{kl,ij}}{G_{kl}}
 \end{array}
\end{equation}

При построении физических уравнений анизотропных материалов с симметрией свойств более высокого порядка уравнения (\ref{c3:phiz_equat}) будут упрощаться в соответствии со схемами коэффициентов матриц тензора $C_{ijkl}$ 
%и $\alpha_{ij}$ 
для каждого конкретного типа анизотропии свойств.

Для ортотропных материалов с тремя ортогональными осями симметрии второго порядка, совпадающими с осями координат, получим:

\begin{equation}
 \label{c3:ortotrop}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \varepsilon_{11} = \frac{1}{E_1}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{21}}{E_2}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{31}}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{11}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{22} = -\frac{\upsilon_{12}}{E_1}\sigma_{11} + \frac{1}{E_2}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{32}}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{22}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{33} = -\frac{\upsilon_{13}}{E_1}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{23}}{E_2}\sigma_{22} + \frac{1}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{33}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{12} = \frac{1}{2G_{12}}\sigma_{12} \\
  \varepsilon_{13} = \frac{1}{2G_{13}}\sigma_{13} \\
  \varepsilon_{23} = \frac{1}{2G_{23}}\sigma_{33} 
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Физические уравнения термоупругости трансверсально-изотропных материалов с осью изотропии $X_3$ и плоскостью изотропии $X_1 X_2$ записываются в виде:

\begin{equation}
 \label{c3:isotrop}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \varepsilon_{11} = \frac{1}{E_1}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{21}}{E_1}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{31}}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{11}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{22} = -\frac{\upsilon_{12}}{E_1}\sigma_{11} + \frac{1}{E_1}\sigma_{22} - \frac{\upsilon_{32}}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{22}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{33} = -\frac{\upsilon_{13}}{E_3}\sigma_{11} - \frac{\upsilon_{31}}{E_3}\sigma_{22} + \frac{1}{E_3}\sigma_{33} 
%+ \alpha_{33}\Delta T 
\\
  \varepsilon_{12} = \frac{(1+\upsilon_{12})}{2G_{12}}\sigma_{12} \\
  \varepsilon_{13} = \frac{1}{2G_{13}}\sigma_{13} \\
  \varepsilon_{23} = \frac{1}{2G_{23}}\sigma_{33} 
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

%При $\Delta T = 0$, в отсутствие изменения температуры, уравнения (\ref{c3:phiz_equat}) --- (\ref{c3:isotrop}) преобразуются в закон Гука в форме выражения (\ref{c3:guk_epsilon}) для рассмотренных классов симметрии анизотропных материалов.

Для изотропного материала физические уравнения термоупругости в форме (\ref{c3:epsilon_dn}) представим в виде:

\begin{equation}
 \label{c3:termoup2}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  \varepsilon_{11} = \frac{1}{E}\left[\sigma_{11} - \upsilon(\sigma_{22}+\sigma_{33})\right] 
%+ \alpha\Delta T 
\\
  \varepsilon_{22} = \frac{1}{E}\left[\sigma_{22} - \upsilon(\sigma_{11}+\sigma_{33})\right] 
%+ \alpha\Delta T 
\\
  \varepsilon_{33} = \frac{1}{E}\left[\sigma_{33} - \upsilon(\sigma_{11}+\sigma_{22})\right] 
%+ \alpha\Delta T 
\\
  \varepsilon_{12} = \frac{1+\upsilon}{E}\sigma_{12} \\ 
  \varepsilon_{23} = \frac{1+\upsilon}{E}\sigma_{23} \\ 
  \varepsilon_{13} = \frac{1+\upsilon}{E}\sigma_{13}
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Где $E$ и $\upsilon$ --- модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно.