uam/c2.tex

\chapter{Теория напряжений}
\label{c2}

\section{Введение}

Деформацию можно измерить, а напряжения нет. Поэтому теория напряжений аксиоматическая. В теории напряжений изучаются внутренние силы, возникающие в твердых деформируемых материалах или телах в следствии физических воздействий на них. При внешнем физическом воздействии изменяются расстояния между внутренними точками материала, в следствии этого возни кают внутренние силы, которые отражают макроскопическое взаимодействие между атомами или молекулами. Для описания внутренних сил в теории напря жений используются метод сечений и аксиома связи. Внутренние силы могут изменяться при переходе от одной частицы к другой, и поэтому напряженное состояние в теле в общем случае является неоднородным (также как и деформируемое состояние). Напряжение является мерой внутренних сил, возникающих в материале или теле.

Внешние силы:

\begin{description}
 \item[Объемные] --- действуют на каждую точку объема.
 \item[Поверхностные:]

 \begin{description}
  \item
  \item[Сосредоточенные] --- действуют на точку.
  \item[Распределенные] --- действуют на участок тела или на все тело.
 \end{description}
\end{description}

\section{Принцип напряжений}

%Pict2
\begin{figure}[ht] 
 \centering
 \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{picts/pict2.png}
\caption{Взаимодействие сил в произвольном сечении}
\label{fig:forces}
\end{figure} 

Важной гипотезой, служащей для описания внутренних сил в деформируемой среде является принцип напряжений Эйлера и Коши: в каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела имеет место взаимодействие сил такого же характера, как и поверхностно распределенных нагрузок (рис. \ref{fig:forces}).

Мысленно отбросим часть тела $V_1$ и, предположим, что действие отбрасываемой части на оставшуюся часть $V_2$ можно заменить силами, которые действуют в каждой точке сечения $A$, то есть внутреннее состояние части тела $V_2$ не изменится при той системе сил, которая действует на поверхность сечения $A$. Если такая эквивалентная система сил в сечении $A$ действительно существует (то есть гипотеза справедлива и принцип напряжений справедлив), то эту систему можно рассматривать как часть внешних сил (поверхностных), действующих на тело $V_2$. Выберем в сечении $A$ произвольную точку $P$ и рассмотрим в окрестности этой точки произвольную площадку, лежащую в сечении $A$ --- $\Delta A$. В каждой точке площадки $\Delta A$ действуют силы, отражающие взаимодействие частей тела $V_1$ и $V_2$. Рассматривая эти силы как систему мы можем заменить их главным вектором и главным моментом ($\Delta \overrightarrow{S}$ и $\Delta \overrightarrow{M}$). Центр приведения --- точка $P$\footnote{То есть $\Delta \overrightarrow{S}$ и $\Delta \overrightarrow{M}$ в совокупности представляют собой эквивалент системы сил на площадке $\Delta A$.}.

\begin{equation}
 \label{c2:lim_s_a}
 \lim_{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{S}}{\Delta A} = \overrightarrow{S}.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:lim_m_a}
\lim_{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{M}}{\Delta A} = 0.
\end{equation}

Одной из основных гипотез классической теории напряжений является то, что один предел является конечной величиной, а другой принимается за нуль, поэтому классическая теория напряжений называется также безмоментной.

Вектор $\overrightarrow{S}$ называется вектором напряжений в точке $P$. По сути вектор $\overrightarrow{S}$ представляет собой внутреннюю силу в точке $P$, возникшую в результате взаимодействия частей тела $V_1$ и $V_2$ в сечении $A$. Вектор напряжений непосредственно связан не только с положением точки $P$ в сечении $A$, но и с ориентацией самого сечения. При изменении ориентации площадки $\Delta A$ в пространстве в этой же точке $P$ будет меняться и вектор напряжений $\overrightarrow{S}$. Таким образом, в каждой точке внутри тела можно построить бесконечное множество векторов напряжений $\overrightarrow{S}$, каждый из которых будет связан с определенной ориентацией площадки $\Delta A$. Поскольку ориентация площадки $\Delta A$ в исходной системе координат может быть задана единичным вектором нормали к площадке $\overrightarrow{n}$, то и векторы напряжений для каждой такой площадки можно обозначить как $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Таким образом бесконечная совокупность всех векторов $\overrightarrow{S}^{(n)}$ для всех направлений нормали $\overrightarrow{n}$ в точке $P$ определяет напряженное состояние в этой точке. Поэтому принцип напряжений может быть сформулирован следующим образом: напряженное состояние во внутренней точке деформируемого тела определяется бесконечной совокупностью векторов напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ в этой точке.

\section{Тензор напряжений}

Пусть во внутренней точке тела на площадке с единичным вектором $\overrightarrow{n}$ действует вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Для вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$, как и для любого вектора можно построить проекцию на произвольное направление, которая будет называться компонентой вектора напряжений в этом направлении. Компонента на нормаль называется также нормальным напряжением.

\begin{equation}
 \label{c2:Sn}
 S_n = \overrightarrow{S}^{(n)} \cdot \overrightarrow{n}.
\end{equation}

Построим направление в плоскости площадки, заданное единичным вектором $\overrightarrow{\tau}$, которое лежит одновременно в плоскости, образованной векторами $\overrightarrow{S}^{(n)}$ и $\overrightarrow{n}$. Направление $\tau$ называют касательным направлением по отношению к площадке.

\begin{equation}
 \label{c2:S_tau}
 S_{\tau} = \sqrt{\left|\overrightarrow{S}^{(n)}\right|^2 - S_n^2}.
\end{equation}

Если задана система декартовых координат с ортами $\overrightarrow{e}_1$, $\overrightarrow{e}_2$ и $\overrightarrow{e}_3$, то можно найти компоненты вектора напряжений на направление осей координат.

\begin{equation}
 \label{c2:S_i}
 S_i = \overrightarrow{S}^{(n)} \cdot \overrightarrow{e}_i.
\end{equation}

Где $S_i$ --- направление вектора $\overrightarrow{S}^{(n)}$ на $X_i$ ось координат. Тогда для вектора напряжений справедлива формула:

\begin{equation}
 \label{c2:S}
 \overrightarrow{S}^{(n)} = S_i \cdot \overrightarrow{e}_i.
\end{equation}

Если для выделенной в точке площадки построить вектор нормали к ее противоположной стороне, то этот вектор можно обозначить как $-\overrightarrow{n}$ и тогда, в соответствии с законом Ньютона\footnote{III закон Ньютона: каждое действие равно противодействию.}, на этой противоположной стороне площадки будет действовать вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(−n)}$, равный по величине $\overrightarrow{S}^{(n)}$ и противоположный ему по направлению.

\begin{equation}
 \label{c2:neg_S}
 \overrightarrow{S}^{(n)} = -\overrightarrow{S}^{(-n)}.
\end{equation}

Пусть в произвольной точке тела построено три взаимно ортогональных площадки. Рассмотрим систему координат (рис. \ref{fig:coord_syst}):

%Pict3
\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width = 0.6\textwidth]{picts/pict3.png}
\caption{Элементарная частица}
\label{fig:coord_syst}
\end{figure} 

Рассмотрим в точке $P$ элементарную частицу в виде бесконечно малого куба, ребра которого направлены вдоль осей координат. Грани этого куба можно рассматривать как взаимно ортогональные площадки в данной точке $P$. Поскольку объем элементарной частицы стремится к нулю, а ориентация граней куба, каждая из которых ортогональна, определяет орту $\overrightarrow{e}_i$ исходной системы координат сохраняется, то эти грани эквивалентны трем ортогональным площадкам в данной точке.

Обозначим эти площадки в соответствии с ортами, перпендикулярными этим площадкам. Построим на каждой площадке вектор напряжений, направление которого не совпадает с направлением осей координат. Каждый из векторов напряжений $\overrightarrow{S}^{(i)}$ имеет свои компоненты на оси координат, например:

\begin{equation}
 \label{c2:S_1}
 \overrightarrow{S}^{(1)} = S_1^{(1)}\overrightarrow{e}_1 + S_2^{(1)}\overrightarrow{e}_2 + S_3^{(1)}\overrightarrow{e}_3.
\end{equation}

Где $S_i^{(1)}$ есть компоненты вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(1)}$ на $X_i$ оси координат.

В общем случае, для любого из $\overrightarrow{S}^{(i)}$ векторов напряжений можно записать:

\begin{equation}
 \label{c2:vec_S_i}
 \overrightarrow{S}^{(i)} = S_j^{(i)}\cdot\overrightarrow{e}_j.
\end{equation}

Где $i$ и $j$ пробегают значения от 1 до 3, а $S_j^{(i)}$ --- проекции вектора $\overrightarrow{S}^{(i)}$ на $X_j$ ось координат.

Для величин $S_j^{(i)}$ справедлива следующая формула:

\begin{equation}
 \label{c2:S_j_i}
 S_j^{(i)} = \overrightarrow{S}^{(i)}\cdot\overrightarrow{e}_j.
\end{equation}

Девять величин $S_j^{(i)}$, которые представляют собой компоненты трех векторов напряжений на три направления осей координат в исходной системе координат, можно представить в виде квадратной матрицы размером $3\times3$. Из формулы (\ref{c2:S_j_i}) следует, что при повороте системы координат величины $S_j^{(i)}$ будут изменяться по правилу преобразования компонент тензора II ранга, следовательно, совокупность величин $S_j^{(i)}$ можно представить как тензор II ранга $\sigma_{ij}$, который называется тензором напряжений. Физический смысл компонент этого тензора напряжений --- проекции векторов напряжений на оси координат. В исходной системе координат матрица тензора напряжений имеет следующий вид:

\begin{equation}
 \label{c2:sigma}
 \sigma_{ij} = \left(
  \begin{array}{ccc}
    \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\
    \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\
    \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
  \end{array}\right).
\end{equation}

Первый индекс у тензора напряжений $\sigma_{ij}$ обозначает номер оси, перпендикулярной к площадке на которой действует вектор напряжений, а второй индекс --- направление, на которое берется проекция вектора напряжений, действующего на этой площадке.

Если векторы напряжений $\overrightarrow{S}^{(i)}$ разложить на компоненты по осям координат и для обозначения этих компонент использовать тензор напряжений $\sigma_{ij}$, то получится следующая схема (рис. \ref{fig:sigma}):

%Pict4
\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{picts/pict4.png}
\caption{Схема разложения векторов напряжений}
\label{fig:sigma}
\end{figure}

Диагональные компоненты тензора напряжений $\sigma_{ij}$ называются нормальными напряжениями, так как представляют собой проекции на нормали трех векторов напряжений на трех площадках. Соответственно, недиагональные компоненты тензора $\sigma_{ij}$ называются касательными напряжениями. Сам тензор $\sigma_{ij}$ называется тензором напряжений Коши.

\section[Вычисление вектора напряжений]{Вычисление вектора напряжений \\ на произвольной площадке}

Напряженное состояние в точке характеризуется бесконечной совокупностью векторов напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$, которые действуют на различно ориентированных в точке площадках. Покажем, что вектор напряжений на произвольной площадке можно вычислить по известным трем векторам напряжений, действующим на взаимно ортогональных площадках.

Пусть в произвольной точке тела $A$ известны три вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(1)}$, $\overrightarrow{S}^{(2)}$ и $\overrightarrow{S}^{(3)}$, которые действуют на трех взаимно ортогональных площадках, параллельных плоскостям декартовой системы координат. Это эквивалентно тому, что в данной точке задан тензор напряжений $\sigma_{ij}$. В качестве элементарных площадок выберем площадки в плоскостях системы координат. В качестве произвольно ориентированной площадки в теле $A$ выберем треугольник, вершины которого находятся на осях координат (рис. \ref{fig:triangle}):

%pict5
\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{picts/pict5.png}
\caption{Произвольно ориентированная площадка}
\label{fig:triangle}
\end{figure}

Считаем, что ориентация элементарной площадки $BCD$ нам задана и, следовательно, вектор $\overrightarrow{n}$ единичной нормали, характеризующий положение площадки в пространстве, нам известен. Таким образом, на всех гранях тетраэдра $ABCD$ действуют векторы напряжений.

Рассмотрим равновесие элементарного тетраэдра $ABCD$ под действием указанной системы внутренних сил, то есть векторов напряжений $\overrightarrow{S}^{(1)}$, $\overrightarrow{S}^{(2)}$, $\overrightarrow{S}^{(3)}$ и $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Из условия равновесия следует, что сумма проекций равнодействующих сил, действующих на гранях тетраэдра, на оси координат должна быть равна нулю. При этом сами векторы напряжений и векторы нормалей к площадкам могут быть представлены через их проекции на оси координат. Например, для вектора $\overrightarrow{S}^{(n)}$:

\begin{equation}
 \label{c2:S_n}
 \overrightarrow{S}^{(n)} = S_1^{(n)}\overrightarrow{e}_1 + S_2^{(n)}\overrightarrow{e}_2 + S_3^{(n)}\overrightarrow{e}_3.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:n}
 \overrightarrow{n} = n_1\overrightarrow{e}_1 + n_2\overrightarrow{e}_2 + n_3\overrightarrow{e}_3.
\end{equation}

$S_i^{(n)}$ и $n_i$ --- проекции на оси координат векторов $\overrightarrow{S}^{(n)}$ и $\overrightarrow{n}$. 

Обозначим площади граней элементарного тетраэдра $ABCD$ следующим образом: площадь грани $BCD$, на которой мы ищем напряжение, обозначим как $dA$, а площади других граней как $dA_i$, где индекс $i$ указывает на ось координат, перпендикулярной данной площадке. В векторном виде условие равновесия тетраэдра $ABCD$ можно записать следующим образом:

\begin{equation}
 \label{c2:dAS}
 dA\overrightarrow{S}^{(n)} = dA_1\overrightarrow{S}^{(1)} + dA_2\overrightarrow{S}^{(2)} + dA_3\overrightarrow{S}^{(3)}.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:dAi}
 dA_i = n_i\cdot dA.
\end{equation}

Поскольку площадки $dA_i$ представляют собой проекции площадки $dA$ на координатные плоскости, то $dA_i$ можно вычислить по соотношению (\ref{c2:dAi}) при заданных проекциях $n_i$ вектора нормали $\overrightarrow{n}$ к площадке $dA$. Например, проекция векторного уравнения (\ref{c2:dAS}) на ось $X_1$ с учетом выражения (\ref{c2:dAi}) приводит к следующему выражению:

$$
 \begin{array}{lllllll}
  dA S_1^{(n)} = & n_1 dA & \sigma_{11} + & n_2 dA & \sigma_{21} + & n_3 dA & \sigma_{31} \\
                 &        & \parallel     &        & \parallel     &        & \parallel   \\
                 &        & S_1^{(1)}     &        & S_1^{(2)}     &        & S_1^{(3)}
 \end{array}
$$

\begin{equation}
 \label{c2:S_1_n}
 S_1^{(n)} = n_1\sigma_{11} + n_2\sigma_{21} + n_3\sigma_{31} = \sigma_{i1} n_i.
\end{equation}

По аналогии для проекций на другие координатные оси координат получаем:

\begin{equation}
 \label{c2:S_2_n}
 S_2^{(n)} = \sigma_{i2} n_i.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:S_3_n}
 S_3^{(n)} = \sigma_{i3} n_i.
\end{equation}

Обобщая уравнения (\ref{c2:S_1_n}), (\ref{c2:S_2_n}) и (\ref{c2:S_3_n}) можно записать:

\begin{equation}
 \label{c2:S_i_n}
 S_i^{(n)} = \sigma_{ji} n_j.
\end{equation}

Где $n_j$ --- проекции вектора $\overrightarrow{n}$, характеризующего положение площадки в пространстве, а $\sigma_{ji}$ --- тензор деформаций в данной точке. Формула (\ref{c2:S_i_n}) называется фундаментальной формулой Коши и связывает компоненты вектора напряжений на произвольной площадке с тензором напряжений в точке. Эта формула доказывает, что напряженное состояние в точке характеризуется не только
бесконечной совокупностью векторов напряжений, но и тензором напряжений $\sigma_{ij}$. Зная проекции $S_i^{(n)}$ вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$, можно восстановить и сам вектор по формуле (\ref{c2:S_n}).

\section{Уравнения равновесия в напряжениях}

До сих пор мы рассматривали напряженное состояние в точке деформируемой среды или тела. Под действием внешних объемных гранях или поверхностных сил во всех точках тела возникает напряженное состояние, внутреннее распределение которого в теле является непрерывным и, в общем случае, неоднородным. Аналогично тому как напряженное состояние в точке характеризуется тензором напряжений, напряженное состояние внутри тела характеризуется полем напряжений, то есть совокупностью координатных зависимостей всех компонент тензора напряжений $\sigma_{ij} = \sigma_{ij}(X_1, X_2, X_3)$. На поверхности тела $S$ действуют поверхностные силы $\overrightarrow{T}(X_1, X_2, X_3)$, в каждой точке объема тела $V$ действуют объемные силы $\overrightarrow{f}(X_1, X_2, X_3)$. В результате действия внешних сил $\overrightarrow{f}$ и $\overrightarrow{T}$ внутри тела возникает напряженное состояние, которое характеризуется непрерывными функциями $\sigma_{ij}(X_1, X_2, X_3)$. Предположим, что эти функции не только непрерывны, но и дифференцируемы. Получим уравнения, которым
должно удовлетворять поле напряжений $\sigma_{ij}(X_1, X_2, X_3)$. Если тело $V$ находится в равновесии, то внешние поверхностные и объемные силы должны удовлетворять условиям самоуравновешивания внешней нагрузки. То есть главный вектор и главный момент внешних сил должны быть равны нулю (система внешних сил находится в состоянии равновесия). Тогда для главного вектора внешних сил имеем:

\begin{equation}
 \label{c2:R}
 \overrightarrow{R} = \int\int_S \overrightarrow{T}(X_1,X_2,X_3)dS + \int\int\int_V \overrightarrow{f}(X_1,X_2,X_3)dV = 0.
\end{equation}

Для главного момента внешних сил M должно быть справедливо:

\begin{equation}
 \label{c2:M}
 \overrightarrow{M} = \int\int_S \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{T}(X_1,X_2,X_3)dS + 
                      \int\int\int_V \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{f}(X_1,X_2,X_3)dV = 0.
\end{equation}

Где $\overrightarrow{r}$ --- радиус-вектор из начала координат во внутреннюю точку тела.

Выражения (\ref{c2:R}) и (\ref{c2:M}) называют условием самоуравновешивания внешней нагрузки. Это условие должно выполняться для любого деформируемого тела, находящегося в состоянии равновесия под действием внешних поверхностных и объемных сил. Если деформируемое тело находится в состоянии равновесия, то и любой его внутренний объем также находится в состоянии равновесия (рис. \ref{fig:volume}) и для любого внутреннего объема можно записать условие самоуравновешивания сил аналогичные (\ref{c2:R}) и (\ref{c2:M}).

%Pict6
\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{picts/pict6.png}
\caption{Деформируемое тело}
\label{fig:volume}
\end{figure}

На объем $V^*$ будут действовать силы, распределенные по поверхности $S^∗$, которые отображают действие мысленно отбрасываемой части тела $V - V^∗$ на внутренний объем $V^∗$. Эти внутренние для объема $V$ силы будут являться поверхностными силами для объема $V^∗$. Построив в каждой точке поверхности $S^∗$ касательную к поверхности площадку, ориентация которой будет задана в каждой точке вектором нормали $\overrightarrow{n}$ к этой площадке, можно построить в каждой точке на этой площадке вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Тогда совокупность всех векторов напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ в каждой точке поверхности $S^∗$ и будет системой поверхностных сил для внутреннего объема $V^∗$. Объемными силами для части тела $V^∗$ являются те же внешние объемные силы, что и для всего тела $V$, но
рассматриваемые только для точек объема $V^∗$.

Запишем для внутренней части $V^∗$ условие самоуравновешивания сил (поверхностных и объемных), действующих на эту часть тела:

$$
 \begin{array}{ll}
  \overrightarrow{R}^* = & 0; \\
  \overrightarrow{M}^* = & 0; \\
  \overrightarrow{R}^* = & \int\int_{S^*} \overrightarrow{S}^{(n)} dS + \int\int\int_{V^*} \overrightarrow{f} dV.
 \end{array}
$$

Пусть внутри тела $V$ под действием внешних сил возникло поле напряжений $\sigma_{ij}(X_1,X_2,X_3)$:

$$
 \begin{array}{ll}
  S_i^{(n)} =                & \sigma_{ji} n_j;                \\
  \overrightarrow{S}^{(n)} = & S_i^{(n)} \overrightarrow{e}_i; \\
  \overrightarrow{f} =       & f_i \overrightarrow{e}_i;       \\
  \overrightarrow{R}^* =     & \int\int_{S^*} \sigma_{ji}\overrightarrow{e}_i n_j dS + \int\int\int_{V^*} f_i \overrightarrow{e}_i dV.
 \end{array}
$$

Применяя к поверхностному интегралу формулу Остроградского-Гаусса \marginpar{Формула \\ Остроградского-Гаусса: \\$\int\int_S F n_i dS = \\ = \int\int\int_V \frac{\partial F}{\partial X_i} dV$.} получаем:

$$
 \begin{array}{ll}
  \overrightarrow{R}^* = & \int\int\int_{V^*} \frac{\partial}{\partial X_j} \sigma_{ji} \overrightarrow{e}_i dV +
			   \int\int\int_{V^*} f_i \overrightarrow{e}_i dV = \\
			 & \int\int\int_{V^*} \left(\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial X_j} + f_i\right) \overrightarrow{e}_i dV = 0.
 \end{array}
$$

Поскольку $V^*$ является произвольной частью тела $V$, то полученный объемный интеграл может быть равен нулю тогда и только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю во всех точках объема $V^*$, следовательно, получаем:

$$
 \left(\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial X_j} + f_i\right) \overrightarrow{e}_i = 0 \Rightarrow
$$

\begin{equation}
 \label{c2:equal_zero}
 \frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial X_j} + f_i = 0.
\end{equation}

Условие (\ref{c2:equal_zero}) однозначно вытекает из условия $R^* = 0$ и выполняется во всех точках объема $V^*$.

По аналогии с выражением (\ref{c2:M}) записываем:

$$
 \begin{array}{lcl}
  \overrightarrow{M^*} & = & \int\int_{S^*} \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{S}^{(n)} dS + 
                           \int\int\int_{V^*} \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{f} dV = 0; \\
  \overrightarrow{r}   & = & r_i \overrightarrow{e}_i;                                             \\
  \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial X_i} & = & \overrightarrow{e}_i;                     \\
  \frac{\partial r_i}{X_j} & = & \sigma_{ij};                                                      \\
  \overrightarrow{M^*} & = & \int\int_{S^*} (\sigma_{ji}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i) n_j dS +
                           \int\int\int_{V^*} (\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i) f_i dV = \\
                      &  & \int\int\int_{V^*} \frac{\partial}{\partial X_j} (\sigma_{ji}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i) dV +
                           \int\int\int_{V^*} (\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i) f_i dV = \\
                      &  & \int\int\int_{V^*} \left(\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i
                           \frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial X_j} + 
                           \overrightarrow{e}_j\times\overrightarrow{e}_i\sigma_{ji}+
                           \overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i f_i\right) dV = \\
                      &  & \int\int\int_{V^*} \left[\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{e}_i
                           \left(\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial X_j} + f_i \right)\right]dV +
                           \int\int\int_{V^*} \overrightarrow{e}_i \times \overrightarrow{e}_j \sigma_{ij} dV = \\
                      &  & \int\int\int_{V^*} \overrightarrow{e}_i \times \overrightarrow{e}_j \sigma_{ij} dV = 0.
 \end{array}
$$

Поскольку оставшееся слагаемое представляет собой интеграл по {\bf произвольной} внутренней части тела, то такой интеграл равен нулю тогда и только тогда, когда его подынтегральная функция равна нулю во всех точках объема $V^*$, то есть во всех точках объема $V^*$ справедливо:

$$
 \overrightarrow{e}_j \times \overrightarrow{e}_i \sigma_{ji} = 0;
$$

$$
 \begin{array}{l}
  \overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{e}_1 \sigma_{11} + 
  \overrightarrow{e}_2 \times \overrightarrow{e}_2 \sigma_{22} +
  \overrightarrow{e}_3 \times \overrightarrow{e}_3 \sigma_{33} + \\
  (\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{e}_2 \sigma_{12} + \overrightarrow{e}_2 \times \overrightarrow{e}_1 \sigma_{21}) + 
  (\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{e}_3 \sigma_{13} + \overrightarrow{e}_3 \times \overrightarrow{e}_1 \sigma_{31}) + \\
  (\overrightarrow{e}_2 \times \overrightarrow{e}_3 \sigma_{23} + \overrightarrow{e}_3 \times \overrightarrow{e}_2 \sigma_{32}) = 0.
 \end{array}
$$

Слагаемые с повторяющимися индексами равны нулю, так ка равны нулю соответствующие вторые производные. Сомножители слагаемых с величинами
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{21}$ (а также других аналогичных пар) представляют собой одинаковые единичные векторы, направленные в противоположные стороны и ортогональные другим аналогичным векторам, поэтому полученное векторное уравнение выполняется только при условиях:

\begin{equation}
  \label{c2:simmetr}
  \sigma_{12} = \sigma_{21}; \qquad \sigma_{13} = \sigma_{31}; \qquad \sigma_{23} = \sigma_{32}.
\end{equation}

Условия (\ref{c2:simmetr}) представляют собой условия симметрии $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ тензора напряжений, которое, таким образом, вытекает из условия самоуравновешивания системы сил, действующих на произвольный внутренний объем рассматриваемого тела. С учетом симметрии тензора напряжений основные формулы теории напряжений могут быть записаны в следующем виде:

\begin{equation}
 \label{c2:koshi}
 S_i^{(n)} = \sigma_{ij} n_j.
\end{equation}

Выражение (\ref{c2:koshi}) называют фундаментальной формулой Коши.

Эта формула следует из (\ref{c2:S_i_n}) и из условий (\ref{c2:simmetr}); выражение (\ref{c2:equal_zero}) записывается следующим образом:

\begin{equation}
 \label{c2:equal_zero_simp}
 \sigma_{ij,j} + f_i = 0.
\end{equation}

Выражение (\ref{c2:equal_zero_simp}) называется уравнением равновесия в напряжениях. Это уравнение выполняется во всех внутренних точках тела $V$. Поле напряжений $\sigma_{ij}(X_1,X_2,X_3)$, удовлетворяющее уравнениям равновесия в напряжениях (\ref{c2:equal_zero_simp}) называется статически допустимым. В развернутом виде уравнения (\ref{c2:equal_zero_simp}) записываются следующим образом:

\begin{equation}
 \label{c2:equal_zero_expand}
 \left\{
  \begin{array}{l}
    \frac{\partial \sigma_{11}}{\partial X_1} + 
    \frac{\partial \sigma_{12}}{\partial X_2} + 
    \frac{\partial \sigma_{13}}{\partial X_3} + f_1 = 0 \\
    \frac{\partial \sigma_{12}}{\partial X_1} + 
    \frac{\partial \sigma_{22}}{\partial X_2} + 
    \frac{\partial \sigma_{23}}{\partial X_3} + f_2 = 0 \\
    \frac{\partial \sigma_{13}}{\partial X_1} + 
    \frac{\partial \sigma_{23}}{\partial X_2} + 
    \frac{\partial \sigma_{33}}{\partial X_3} + f_3 = 0 \\
  \end{array}\right.
\end{equation}

Уравнения (\ref{c2:equal_zero_expand}) называют уравнениями равновесия в напряжениях в развернутом виде. Всего уравнений три, они образуют систему дифференциальных уравнений I порядка в частных производных, линейных, неоднородных (при $f_i = 0$), с постоянными коэффициентами. У системы (\ref{c2:equal_zero_expand}) имеется частный случай, когда объемными силами и вызываемыми ими напряжениями можно пренебречь по отношению к другим физическим воздействиям (поверхностным силам, изменениям температуры и так далее). В этом случае уравнения равновесия в напряжениях в тензорном виде записываются:

\begin{equation}
 \label{c2:equal_zero_tenz}
 \sigma_{ij,j} = 0.
\end{equation}

В развернутом виде в выражении (\ref{c2:equal_zero_expand}) достаточно $f_i$ принять равным нулю. В этом частном случае уравнения равновесия в напряжениях становятся однородными.

\section{Условия равновесия на поверхности}

Для того чтобы найти условия, связывающие внутренние силы с поверхностными силами для точек поверхности выберем точку $P$ внутри тела $V$, которая бесконечно близко лежит к поверхности $S$. Для точки $P$ можно найти такую точку $Q$, которая принадлежит поверхности $S$ и лежит на одной нормали к касательной площадки с точкой $P$. На площадке в точке $P$, которая параллельна касательной площадки к поверхности в точке $Q$ действует вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Этот вектор напряжений связан с с тензором напряжений фундаментальной формулой Коши в точке $P$:

\begin{equation}
  \label{c2:koshi_1}
  S_i^{(n)} = \sigma_{ij} n_j.
\end{equation}

Где $\sigma_{ij}$ --- тензор напряжений в точке $P$, $S_i^{(n)}$ --- проекции вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ в точке $P$, а $n_j$ --- проекции вектора единичной нормали, одинаковые для площадок в точке $P$ и в точке $Q$\footnote{Так  как эти площадки параллельны}. Рассматривая теперь предельный переход точки $P$ к точке $Q$ по нормали к касательной площадки получаем, что вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ должен стремиться к поверхностной силе $\overrightarrow{T}$ в точке $Q$. Поскольку среда сплошная, данный переход является непрерывным и из асимптотики этого перехода справедливо соотношение:

\begin{equation}
 \label{c2:T_i}
 T_i = \sigma_{ij} n_j.
\end{equation}

Где $T_i$ --- проекции поверхностных сил в точке $Q$, $\sigma_{ij}$ --- тензор напряжений в точке $Q$ и $n_j$ --- проекции вектора единичной нормали площадки, касательной к поверхности тела в точке $Q$. Выражение (\ref{c2:T_i}) --- условие равновесия на поверхности в напряжениях. Это условие выполняется во всех точках поверхности, где заданы поверхностные силы. Частным случаем поверхности, на которой заданы поверхностные силы является свободная поверхность, то есть поверхность или ее участок, на которой поверхностные силы равны нулю.

%Pict7
\begin{figure}[h]
 \centering
 \includegraphics[width = 0.7\textwidth]{picts/pict7.png}
\caption{Пример задания сил}
\label{fig:example}
\end{figure}

$S^{(1)}$ и $S^{(2)}$ --- свободные поверхности, $S^{(3)}$ --- поверхность, на которой заданы силы, $S^{(4)}$ --- поверхность, на которой заданы перемещения.

Тогда для свободной поверхности условие равновесия в напряжениях на поверхности запишется в виде:

\begin{equation}
 \label{c2:balance}
 \sigma_{ij} n_j = 0.
\end{equation}

\section[Главные напряжения и направления]{Главные напряжения и главные \\ направления}

Рассматривая напряженное состояние в точке, заданное произвольным тензором напряжений $\sigma_{ij}$ можно изучить вопрос о том, существует ли такая площадка в точке, на которой вектор напряжений не имеет касательных составляющих\footnote{То  есть вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ параллелен вектору нормали площадки $\overrightarrow{n}$.}. С этим вопросом связан и другой: на каких площадках нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений. Площадки в точке, свободные от касательных напряжений называются главными площадками. Направления, определяемые вектором нормали к таким площадкам называются главными направлениями, а нормальные напряжения, действующие на этих площадках называются главными напряжениями. Если при повороте осей координат одну из осей направить вдоль главного направления, то такая ось будет называться главной осью координат.

Пусть в точке задан произвольный тензор напряжений $\sigma_{ij}$, тогда на любой площадке в точке можно найти вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ с проекциями $S_i^{(n)}$ по фундаментальной формуле Коши: $S_i^{(n)} = \sigma_{ij} n_j$

\begin{equation}
 \overrightarrow{S}^{(n)} = \lambda\overrightarrow{n};
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:S_over_lambda}
 S_i^{(n)} = \lambda n_i.
\end{equation}

Где $\lambda$ --- неизвестная величина, имеющая смысл модуля вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ на той площадке, где нет касательных составляющих у вектора напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$. Тогда справедливо следующее выражение:

$$
 \sigma_{ij} n_j = \lambda n_i;
$$

$$
 \sigma_{ij} n_j - \lambda\delta_{ij} n_j = 0;
$$

\begin{equation}
 \label{c2:n_j}
 n_j(\sigma_{ij} - \lambda\delta_{ij}) = 0.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:n_j_expand}
 \left\{
 \begin{array}{l}
   (\sigma_{11} - \lambda) n_1 + \sigma_{12} n_2 + \sigma_{12} n_3 = 0 \\
   \sigma_{12} n_1 + (\sigma_{22} - \lambda) n_2 + \sigma_{23} n_3 = 0 \\
   \sigma_{13} n_1 + \sigma_{23} n_2 + (\sigma_{33} - \lambda) n_3 = 0
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Система (\ref{c2:n_j_expand}) --- эквивалент выражения (\ref{c2:n_j}), записанный в развернутом виде. Система (\ref{c2:n_j_expand}) --- система алгебраических линейных однородных уравнений I порядка. Система (\ref{c2:n_j_expand}), как и любая система линейных однородных уравнений имеет тривиальное решение $n_1 = n_2 = n_3 = 0$, однако, это решение в данной задаче не имеет смысла, поскольку мы ищем единичный вектор $(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1)$.

Нетривиальное решение системы (\ref{c2:n_j_expand}) существует тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы равен нулю:

\begin{equation}
 \label{c2:main_det}
 \left|
 \begin{array}{ccc}
  \sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12}           & \sigma_{13}           \\
  \sigma_{12}           & \sigma_{22} - \lambda & \sigma_{23}           \\
  \sigma_{13}           & \sigma_{23}           & \sigma_{33} - \lambda
 \end{array}
 \right| = 0.
\end{equation}

Раскрывая выражение (\ref{c2:main_det}) можно найти величину $\lambda$ из кубического алгебраического уравнения:

\begin{equation}
 \label{c2:cube_equation}
 \lambda^3 - I_1 \lambda^2 + I_2 \lambda - I_3 = 0.
\end{equation}

Уравнение (\ref{c2:cube_equation}) следует из выражения (\ref{c2:main_det}) и называется характеристическим уравнением тензора напряжений $\sigma_{ij}$. Характеристическое уравнение вида (\ref{c2:cube_equation}) может быть записано для любого симметричного тензора II ранга (не обязательно тензора напряжений). Решения алгебраического уравнения (\ref{c2:cube_equation}) называются собственными числами тензора II ранга. В общем случае кубическое уравнение вида (\ref{c2:cube_equation}) может иметь либо три действительных корня, либо один корень действительный, и два мнимых комплексно сопряженных. Однако, для характеристического уравнения (\ref{c2:cube_equation}) известно, что это уравнение всегда
имеет три действительных корня. Коэффициенты характеристического уравнения (\ref{c2:cube_equation}) называются инвариантами тензора напряжений.

\begin{equation}
 \label{c2:invariants}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  I_1 = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} \\
  I_2 = \sigma_{11}\sigma_{22} + \sigma_{22}\sigma_{33} + \sigma_{11}\sigma_{33} - \sigma_{12}^2 - \sigma_{13}^2 - \sigma_{23}^2 \\
  I_3 = \sigma_{11}\sigma_{22}\sigma_{33} + 2\sigma_{12}\sigma_{13}\sigma_{23} - 
        \sigma_{11}\sigma_{23}^2 - \sigma_{22}\sigma_{13}^2 - \sigma_{33}\sigma_{12}^2
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

Выражения (\ref{c2:invariants}) позволяют находить коэффициенты характеристического уравнения для любого произвольно заданного тензора напряжений $\sigma_{ij}$.

Таким образом, поскольку уравнение (\ref{c2:cube_equation}) имеет три корня, $\lambda = \lambda_1$, $\lambda = \lambda_2$ и $\lambda = \lambda_3$, то, соответственно, мы имеем три разных решения системы (\ref{c2:n_j_expand}) и, следовательно, три площадки, на которых вектор напряжений $\overrightarrow{S}^{(n)}$ параллелен вектору $\overrightarrow{n}$. При решении системы (\ref{c2:n_j_expand}) надо исходить из того, что эту систему надо дополнить условием $n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$, иначе решение будет вырожденным.

Величины $\lambda_1$, $\lambda_2$ и $\lambda_3$ и есть главные напряжения тензора напряжений $\sigma_{ij}$: $\lambda_1 \equiv \sigma_1$, $\lambda_2 \equiv \sigma_2$, $\lambda_3 \equiv \sigma_3$, $\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$.

Инварианты $I_i$ тензора напряжений $\sigma_{ij}$ могут быть найдены по следующим формулам:

\begin{equation}
 \label{c2:invariants_1}
 \left\{
 \begin{array}{l}
  I_1 = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33} \\
  I_2 = 
    \left| 
    \begin{array}{cc}
     \sigma_{11} & \sigma_{12} \\
     \sigma_{12} & \sigma_{22}
    \end{array}
    \right| + 
    \left| 
    \begin{array}{cc}
     \sigma_{11} & \sigma_{13} \\
     \sigma_{13} & \sigma_{33}
    \end{array}
    \right| + 
    \left| 
    \begin{array}{cc}
     \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
     \sigma_{23} & \sigma_{33}
    \end{array}
    \right| \\
  I_3 = \left|
        \begin{array}{ccc}
         \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
	 \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
         \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} 
        \end{array}
        \right|
 \end{array}
 \right.
\end{equation}

\begin{equation}
 \label{c2:lambda_sigma}
 (\lambda - \sigma_1)(\lambda - \sigma_2)(\lambda - \sigma_3) = 0.
\end{equation}

Из выражения (\ref{c2:lambda_sigma}) можно получить формулы для $I_i$ через главные напряжения:

$$
 \left\{
 \begin{array}{l}
  I_1 = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \\
  I_2 = \sigma_1\sigma_2 + \sigma_1\sigma_3 + \sigma_2\sigma_3 \\
  I_3 = \sigma_1\sigma_2\sigma_3
 \end{array}
 \right.
$$

Докажем, что три главных напряжения, а, следовательно, и три площадки на которых они действуют (главные площадки) являются взаимно ортогональными. Рассмотрим частный случай, когда среди корней характеристического уравнения нет равных, то есть $\sigma_1 \neq \sigma_2 \neq \sigma_3$.

Площадки, на которых действуют $\sigma_1$ и $\sigma_2$ определены нормалями $\overrightarrow{n}^{(1)}$ и $\overrightarrow{n}^{(2)}$ соответственно. Тогда для каждой из этих площадок можно записать выражение, аналогичное формуле (\ref{c2:S_over_lambda}) и фундаментальному соотношению Коши:

$$
 \sigma_1 n_i^{(1)} = \sigma_{ij} n_j^{(1)};
$$

$$
 \sigma_2 n_i^{(2)} = \sigma_{ij} n_j^{(2)}.
$$

Домножим первое уравнение на $n_i^{(2)}$, второе --- на $n_i^{(2)}$ и вычтем из первого уравнения второе:

$$
 (\sigma_1 - \sigma_2)n_i^{(1)} n_i^{(2)} = 0, \Rightarrow n_i^{(1)} n_i^{(2)} = 0.
$$

Последнее выражение представляет собой скалярное произведение векторов $\overrightarrow{n}^{(1)}$ и $\overrightarrow{n}^{(2)}$, из чего следует, что эти векторы перпендикулярны, то есть перпендикулярными являются главные площадки, на которые действуют главные напряжения $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Аналогичным образом доказывается ортогональность и для других площадок. Таким образом, три главных направления взаимно ортогональны.

Если два корня равны между собой (например, $\sigma_1 \neq \sigma_2 = \sigma_3$), тогда направление $\overrightarrow{n}^{(1)}$, соответствующее главному напряжению $sigma1$, является главным направлением, и любые два взаимно ортогональные направления, лежащие в плоскости перпендикулярной $\overrightarrow{n}^{(1)}$ являются главными направлениями.

Если же между собой равны все три корня, то любые три взаимно ортогональные направления будут являться главными направлениями. Такое напряженное состояние соответствует равностороннему растяжению ($\sigma_1 > 0$) или гидростатическому сжатию ($\sigma_1 < 0$), и поэтому называется еще гидростатическим напряженным состоянием.

Рассмотрим теперь вопрос о площадках, на которых нормальные напряжения достигают экстремальных значений. Если в точке задан тензор напряжений $\sigma_{ij}$, то нормальное напряжение $S_n^{(n)}$ на произвольной площадке с нормалью $\overrightarrow{n}$ вычисляется по формуле:

\begin{equation}
 \label{c2:S_n_n}
 S_n^{(n)} = \overrightarrow{S}^{(n)} \cdot \overrightarrow{n}.
\end{equation}

Выражение (\ref{c2:S_n_n}) в проекциях имеет вид:

\begin{equation}
 \label{c2:S_n_n_proect}
 S_n^{(n)} = \sigma_{ij} n_j n_i.
\end{equation}

Варьируемым значением в формуле (\ref{c2:S_n_n_proect}) являются проекции $n_1$, $n_2$, $n_3$ вектора единичной нормали $\overrightarrow{n}$, а слева --- величина, экстремум которой необходимо найти. Экстремум величины $S_n^{(n)}$ необходимо находить при дополнительном условии:

\begin{equation}
 \label{c2:add_cond}
 n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1.
\end{equation}

Одним из методов определения экстремума при дополнительном условии в виде равенства является метод множителей Лагранжа. В соответствии с этим методом, наряду с функцией, экстремум которой ищется, строится дополнительная функция, аддитивно включающая в себя дополнительное равенство, записанное в виде тождественного нуля. Применительно к формуле (\ref{c2:S_n_n_proect}) с дополнительным условием (\ref{c2:add_cond}) это выглядит следующим образом:

\begin{equation}
 \label{c2:lagranzh}
 F(n_1,n_2,n_3) = S_n^{(n)} - \mu(n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 - 1).
\end{equation}

\marginpar{$\mu$ --- множитель \\ Лагранжа.}

Экстремум функций $F$ и $S_n^{(n)}$ совпадают, но экстремум функции $F$ учитывает дополнительное условие (\ref{c2:add_cond}). Тогда условие экстремума можно записать в виде:

$$
 \frac{\partial F}{\partial n_i} = 0;
$$
$$
 S_n^{(n)} = \sigma_{11} n_1^2 + \sigma_{22} n_2^2 + \sigma_{33} n_3^2 + \sigma_{12} n_1 n_2 + \sigma_{13} n_1 n_3 + \sigma_{23} n_2 n_3;
$$
$$
 \frac{\partial F}{\partial n_1} = 2\sigma_{11} n_1 + 2\sigma_{12} n_2 + 2\sigma_{13} n_3 - 2\mu n_1 = 0;
$$
$$
 (\sigma_{11} - \mu) n_1 + \sigma_{12} n_2 + \sigma_{13} n_3 = 0.
$$

Аналогично находятся выражения, соответствующие двум оставшимся условиям экстремума, и, в результате, получается система уравнений относительно неизвестных $n_1$, $n_2$ и $n_3$, полностью совпадающая с системой уравнений (\ref{c2:n_j_expand}), следовательно нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений на главных площадках, а сами экстремальные значения нормальных напряжений и есть главные напряжения $\sigma_1$, $\sigma_2$ и $\sigma_3$. Очевидно, что если оси координат направить вдоль главных направлений, то в главных осях координат
тензор напряжений характеризуется следующей матрицей:

$$
 \sigma_{ij} = \left(
 \begin{array}{ccc}
  \sigma_1 & 0        & 0        \\
  0        & \sigma_2 & 0        \\
  0        & 0        & \sigma_3
 \end{array}
 \right)
$$

Наряду с главными напряжениями, которые по определению являются нормальными напряжениями, можно рассматривать аналогичную задачу и для
касательных напряжений. Можно понять, что для произвольного тензора напряжений $\sigma_{ij}$ площадок на которых отсутствуют нормальные напряжения нет. Главными касательными напряжениями называются экстремальные значения касательных напряжений. Площадок, на которых действуют главные касательные напряжения, десять, и существуют простые формулы, которые позволяют на этих площадках находить не только экстремальные значения касательных напряжений, но и нормальные напряжения, а также находить проекции единичных векторов к таким площадкам.