\documentclass[unicode]{beamer}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usetheme{Warsaw}
\setbeamertemplate{caption}[numbered]

% \logo{\includegraphics[width=25pt]{img/pstu_logo}}
\title{Концентрация напряжений в слое тканого композита с локальными технологическими дефектами}
\institute[ПНИПУ]{Пермский национальный исследовательский политехнический университет}
\author{Д.~В.~Дедков}
\date{\today}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}
 \frametitle{Проблемы, возникающие при производстве тканых КМ}

 \begin{block}{Проблемы}
  \begin{itemize}
   \item Возникновение локальных технологических дефектов;
   \item существенное влияние дефектов на эффективные упругие и прочностные свойства материала;
   \item обнаружение дефектов только на этапе выходного контроля.
  \end{itemize}
 \end{block}
 \centering{$\Downarrow$}
 \begin{block}{Типичные локальные дефекты}
  \begin{itemize}
   \item Разрыв волокна основы;
   \item разрывы волокон основы и утка;
   \item внутренняя пора.
  \end{itemize}
 \end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Примеры дефектов}

\begin{columns}
 \begin{column}{0.45\textwidth}
  \begin{figure}
    \centering{\includegraphics[width=3.5cm]{img/defects/d1}}
    \caption{Разрыв волокна основы}
  \end{figure}
 \end{column}
 \begin{column}{0.55\textwidth}
  \begin{figure}
    \centering{\includegraphics[width=3.5cm]{img/defects/d2}}
    \caption{Разрыв волокон основы и утка}
  \end{figure}
 \end{column}
\end{columns}
\begin{center}
  \begin{figure}
    \includegraphics[width=4.8cm]{img/defects/d3}
    \caption{Внутренняя пора}
  \end{figure}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Описание геометрии волокна} 

\begin{columns}

 \begin{column}{0.5\textwidth}

  \begin{figure}
    \centering{\includegraphics[width=4.7cm]{img/geom}}
    \caption{Искривление волокна}
  \end{figure}

 \end{column}

 \begin{column}{0.5\textwidth}

  \begin{block}{Описание геометрии}

    \begin{enumerate}
      \item $a$ --- сегмент окружности;
      \item $\alpha = 45^o$;
      \item $b$ --- линейный участок.
    \end{enumerate}

  \end{block}

  \begin{block}{Коэффициенты армирования}
   $\alpha_{x} = \alpha_{y} = 0.14$
  \end{block}

 \end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Геометрическая модель слоя тканого композита}

\begin{columns}
 \begin{column}{0.55\textwidth}
  \begin{figure}
    \centering{\includegraphics[width=6cm]{img/frame}}
    \caption{Фрагмент тканого КМ}
  \end{figure}
 \end{column}
 \begin{column}{0.45\textwidth}
  \begin{block}{Гипотезы}
    \begin{itemize}
     \item матрица изотропная, упругая;
     \item волокно изотропное, упругое;
%      \item волокна не соприкасаются;
     \item малые деформации;
     \item взаимное расположение волокон неизменно,
     \item задана граница контакта с трением.
    \end{itemize}

  \end{block}
 \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Краевая задача}

  \begin{block}{Уравнения равновесия в напряжениях}
      $$\sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0;$$
  \end{block}

  \begin{block}{Геометрические соотношения Коши}
      $$\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf r}) + u_{j,i}({\bf r}) \right];$$
  \end{block}   

  \begin{block}{Индикаторная функция}
    $$
      \lambda = 
	\left\{
	  \begin{array}{l}
	   1, {\bf r} \in V_f \\
	   0, {\bf r} \in V_m
	  \end{array}
	\right.
    $$
  \end{block}
  
 \begin{block}{Определяющие соотношения}
  $$
  \sigma_{ij} ({\bf r}) = 
  \left\{
    C_{ijkl}^f \lambda({\bf r}) +
    C_{ijkl}^m \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right]
  \right\}\varepsilon_{kl}({\bf r})
  $$
 \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Граничные условия}

 \begin{block}{Граничные условия}
  \begin{itemize}
   \item $u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0;$
    $u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0;$
   \item $u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} 
    = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0;$
   \item $\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} 
    =\sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0;$
   \item $\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} 
    =\sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0$
  \end{itemize}
 \end{block}

 \begin{columns}
  \begin{column}{0.6\textwidth}
    \begin{block}{Условия идеального сопряжения}
      \begin{itemize}
      \item $\left[\sigma_{ij}({\bf r})n_{j}({\bf r})\right]|_{\Gamma_7^+} = 
	      \left[\sigma_{ij}({\bf r})n_{j}({\bf r})\right]|_{\Gamma_7^-}$ 
      \item $\left[u_i({\bf r})\right]|_{\Gamma_7^+} = 
	      \left[u_i({\bf r})\right]|_{\Gamma_7^-}$
      \end{itemize}
    \end{block}

    \begin{block}{Поверхность внутренней поры}
      \begin{itemize}
      \item $\left[\sigma_{ij}({\bf r})n_j({\bf r})\right]_{\Gamma_8} = 0$
      \end{itemize}    
    \end{block}
%     \begin{block}{Условие контакта с трением}
%       \begin{itemize}
%       \item $\sigma_{12}({\bf r}) \geq f \sigma_{12}^k({\bf r})$
%       \end{itemize}    
%     \end{block}
  \end{column}
  \begin{column}{0.4\textwidth}
   \includegraphics[width=1\linewidth]{img/gu}
  \end{column}
 \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Условия контакта с трением}

  если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} <
\left[ f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
$$
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
$$
\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то
$$
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq
\left[ f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
$$
\noindent где индексы $n$ и $\tau$ --- определяют направление внешней нормали и касательной к поверхности $\Gamma_9$.

\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Используемое ПО}

 \begin{block}{SALOME}
  \begin{itemize}
   \item Создание и редактирование геометрических моделей;
   \item создание, редактирование, проверка качества конечно-элементной сетки;
   \item задание физических свойств геометрическим элементам;
   \item выполнение вычислений с помощью внешних решателей;
   \item просмотр результатов вычислений.
  \end{itemize}
 \end{block}

 \begin{block}{Code-Aster}
    \begin{itemize}
     \item Статические, квазистатические, линейные или нелинейные;
     \item динамические линейные или нелинейные;
     \item задачи разрушения и усталости.
    \end{itemize}

 \end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Конечно-элементная модель}

  \begin{columns}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
	\centering{\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/meshes/all}}
	\caption{Фрагмент слоя тканого КМ}
      \end{figure}
   \end{column}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
	\centering{\includegraphics[width=0.65\linewidth]{img/meshes/fibers}}
	\caption{Волокна}
      \end{figure}
   \end{column}
  \end{columns}

  \begin{figure}
   \centering{\includegraphics[width=0.45\linewidth]{img/meshes/matrix}}
   \caption{Сгущение сетки}
  \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Топология конечно-элементной сетки}
 \begin{block}{Модель без учёта трения}
 \begin{center}
 \begin{footnotesize}
  \begin{tabular}{l||c|c}
    \hline
      & Тетраэдральные & Гексаэдральные \\
      & элементы       & элементы \\
    \hline
    \hline
    Идеальная структура & 298~255 & 77~760 \\
    \hline
    Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
    \hline
    Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
    \hline
    Внутренняя пора & 287~924 & 77~760 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \end{footnotesize}
 \end{center}
 \end{block}

 \begin{block}{Модель с учётом трения}
 \begin{center}
 \begin{footnotesize}
  \begin{tabular}{l||c|c}
    \hline
      & Тетраэдральные & Гексаэдральные \\
      & элементы       & элементы \\
    \hline
    \hline
    Идеальная структура & 405~480 & 77~760 \\
    \hline
    Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\
    \hline
    Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\
    \hline
 \end{tabular}
 \end{footnotesize}
 \end{center}
 \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Поля напряжений}

  \begin{figure}
   \centering{\includegraphics[width=\linewidth]{img/fields/vmis}}
   \caption{Поля интенсивности напряжений в идеальной периодической структуре}
  \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений}
  \begin{block}{Без учёта трения}
    \begin{center}
      \begin{scriptsize}
      \input{s_max_table_all_res}
      \end{scriptsize}        
    \end{center}
  \end{block}

  \begin{block}{С учётом трения}
    \begin{center}
      \begin{scriptsize}
      \input{s_max_table_all_res_fr}
      \end{scriptsize}        
    \end{center}
  \end{block}

\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Коэффициенты концентрации интенсивности напряжений без учёта трения}

  \begin{columns}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
        \centering{\includegraphics[width=\linewidth]{img/fields/d3_k}}
	\caption{Разрыв волокна основы}
      \end{figure}
   \end{column}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
        \centering{\includegraphics[width=\linewidth]{img/fields/d4_k}}
	\caption{Разрыв волокон основы и утка}
      \end{figure}
   \end{column}
  \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Коэффициенты концентрации интенсивности напряжений с учётом трения}

  \begin{columns}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
        \centering{\includegraphics[width=\linewidth]{img/fields/d3_k_fric}}
	\caption{Разрыв волокна основы}
      \end{figure}
   \end{column}
   \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}
        \centering{\includegraphics[width=\linewidth]{img/fields/d4_k_fric}}
	\caption{Разрыв волокон основы и утка}
      \end{figure}
   \end{column}
  \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Выводы}

  \begin{block}{Мероприятия для повышения способности тканых КМ сопротивляться внешнему силовому воздействию}
   \begin{itemize}
    \item Операции технологического процесса, обеспечивающие проникновение связующего в полости локальных дефектов;
    \item дополнительная пропитка связующим, доуплотнение, карбонизация, доосаждение матрицы из газовой фазы.
   \end{itemize}

  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{}
   \centering{Спасибо за внимание!}
  \end{block} 
\end{frame}

\end{document}