disser/c1.tex

\chapter{Разработка математической модели тканого композита с искривленными
волокнами}

В главе\infirsttext

\section{Технологические операции изготовления конструкций из тканых
композиционных материалов, приводящие к появлению локальных концентраторов
напряжений}

\subsection{Изготовление тканей}

Тканые материалы можно классифицировать по типу переплетения волокон. Выделяют
следующие типы переплетений: полотняное, ситцевое, сатиновое, саржевое,
трикотажное. Необходимую для определенной цели анизотропию механических
характеристик тканых композитов достигают за счет варьирования соотношения
волокон в основе и утке ткани.

Ткань изготавливают на ткацком станке переплетением двух
взаимно-перпендикулярных систем нитей пряжи --- основных и уточных. Основные
нити располагаются по длине куска ткани, а уточные --- по его ширине, от кромки
к кромке.

Можно выделить следующие основные технические характеристики ткани
\cite{bib:bulanov}:

\begin{itemize}
 \item волокнистый состав;
 \item тип переплетения;
 \item ширина;
 \item толщина;
 \item масса квадратного метра;
 \item число нитей основы и утка на единицу длины (плотность ткани);
 \item разрывная нагрузка и растяжимость (удлинение) при разрыве.
\end{itemize}

В зависимости от материала, используемого для изготовления волокон, ткани
подразделяют на стеклоткани, органоткани, углеткани, ткани с металлическими
волокнами, а также комбинированные ткани.

В промышленности используют ткани, имеющие различные типы переплетения.
Наиболее простым и широко применяемым является полотняное переплетение
(рис.~\ref{fig:c1:schemas},~a), где каждая нить основы и утка проходит
поочередно сверху и снизу пересекающихся нитей.

\begin{figure}[h] 
 \includegraphics[width=17cm]{all_structs}
 \caption{Схемы типов переплетения: а) полотняное, б)
сатиновое, в) саржевое $2\times2$}
 \label{fig:c1:schemas}
\end{figure}

Сатиновое переплетение (рис.~\ref{fig:c1:schemas},~б) получают путем перекрытия
одной нитью утка четырех нитей основы. При саржевом переплетении
(рис.~\ref{fig:c1:schemas},~в) нити основы и утка проходят поочередно сверху и
снизу двух и четырех пересекающих их нитей.

По ширине ткани подразделяют на узкие~--- $40\dots75$~см., средней ширины~---
$75\dots100$~см., широкие~--- $100\dots150$~см. и очень широкие~---
$150\dots200$~см. Ткани с шириной менее $7.5$~см. называют ткаными лентами.

По массе квадратного метра ткани подразделяют на легкие~--- до $100~
\text{г}/\text{м}^2$, со средней массой~--- от $100$ до $500
\text{г}/\text{м}^2$ и тяжелые~---ткани с массой свыше
$500~\text{г}/\text{м}^2$.

Толщина тканей, используемых в промышленности определяется волокнистым составом
и обычно составляет от $0.15$ до $0.45$~мм.

Для изготовления каркаса изделия, заготовки из ткани или ленты выкладываются на
оправку с последующей прошивкой слоев по третьей координате, при этом, в местах
прошивки возможно возникновение разрывов волокон основы и утка. 

\subsection{Матричные материалы}

Роль матрицы в армированном композите заключается в придании изделию
необходимой формы и создании монолитного материала. Объединяя в одно целое
армирующий наполнитель, матрица позволяет композиции воспринимать различного
рода внешние нагрузки, такие как растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг и кручение.
Также матрица принимает участие в создании несущей способности композита,
обеспечивая передачу усилий на волокна.

К матрицам предъявляют ряд требований, которые можно разделить на
эксплуатационные и технологические. К первым относятся требования,
обусловленные механическими и физикохимическими свойствами материала матрицы,
которые обеспечивают работоспособность композиции при действии различных
эксплуатационных факторов:

\begin{itemize}
 \item механические свойства матрицы должны обеспечивать эффективную работу
волокон при различных видах нагрузок;
 \item природа матрицы определяет уровень рабочих температур композита,
характер изменения свойств при воздействии атмосферных и других факторов.
\end{itemize}

Технологические требования определяются осуществляемыми одновременно процессами
получения композита и изделия из него. Эти процессы включают совмещение
армирующих волокон с матрицей и окончательное формование изделия.

Исходными материалами для получение поликристаллической матрицы могут быть
органические смолы с высоким коксовым числом и пеки. При этом важно, чтобы
исходные материалы обладали высоким содержанием ароматических углеводородов,
высокой молекулярной массой, а также развитыми поперечными химическими связями.

В зависимости от фазового состояния исходных материалов различают следующие
способы уплотнения матрицы:

\begin{itemize}
 \item с использованием газообразных углеводородов (природный газ, метан,
пропан-бутан, бензол и т.п.);
 \item с использованием жидких углеводородов с большим выходом кокса (пеки,
смолы);
 \item комбинированный, включающий в себя пропитку пористых каркасов жидкими
углеводородами, карбонизацию и уплотнение из газовой фазы \cite{bib:sokolkin}.
\end{itemize}

При выборе материала матрицы и технологии уплотнения необходимо учитывать
следующие факторы:

\begin{itemize}
 \item размер и форма каркаса;
 \item тип нитей, определяющий такие их параметры, как характеристики
смачивания и сцепления, зависимость свойств нити от температуры и др.;
 \item геометрия и схема переплетения нитей, определяющие размеры пор, их
распределение в объеме и степень связанности (открытости);
 \item объемное содержание волокон в ткани;
 \item тип ткани (сухая или предварительно пропитанная, частично отвержденная).
\end{itemize}

Процесс уплотнения каркаса и материал матрицы должны соответствовать типу
каркаса и обеспечивать требуемые свойства конечного изделия
\cite{bib:sidorenko}.

\subsection{Уплотнение каркаса поликристаллической матрицей}

Вид уплотнения тканого композита с поликристаллической матрицей определяется
исходным материалом. Выделяют методы пропитки жидкостью и осаждение из газовой
фазы.

Для пропитки жидкостью применяют термореактивные смолы и пеки. Смолы отличаются
хорошей пропитывающей способностью и легко доступны. При пиролизе эти смолы
образуют стекловидную поликристаллическую матрицу, которая графитизируется при
температуре около $3000^\circ\mathrm{C}$. Процедура пиролиза представляет собой
нагрев каркаса, пропитанного смолой, до температур порядка $400\dots
600^\circ\mathrm{C}$. Процесс пиролиза также называют карбонизацией. При
карбонизации происходит усадка матрицы, которая достигает $20\%$ и может
привести к разрушению каркаса.

Пеки являются термопластичными материалами. При продолжительном выдерживании
температуры около $400^\circ\mathrm{C}$ в пеках идет образование
высокоориентированной фазы, которая при температуре $2500^\circ\mathrm{C}$
переходит в графитовую структуру.

Пропитка ткани материалом матрицы может проходить под низким или
высоким давлением. Пропитка под низким давлением с последующей
карбонизацией наиболее распространена. Она проводится при атмосферном или
пониженном давлении, чаще всего в несколько циклов для снижения пористости. При
карбонизации изделие нагревают с заданной скоростью до температуры
$650\dots1100^\circ\mathrm{C}$, после чего охлаждают. Процесс карбонизации
обычно длится около $100$ часов. Графитизация проводится при температуре
$2600\dots2750^\circ\mathrm{C}$ в течении $30$ часов. Для получения максимально
плотного композита цикл <<пропитка --- карбонизация>> проводится несколько раз,
графитизация же выполняется только один раз --- в конце последнего цикла.

Пропитку под высоким давлением применяют для повышения выхода кокса. Процедура
практически совпадает с методом пропитки под низким давлением, за исключением
того, что каркас помещается в тонкостенный металлический контейнер, куда по
давлением подается горячий пек. После того как контейнер заполнен он
закрывается и выдерживается в автоклаве около суток по давлением
$6\dots100$~МПа при температуре $550\dots 650^\circ\mathrm{C}$. Процесс
пропитки и карбонизации может повторяться несколько раз, после чего изделие
удаляется из контейнера и подвергается графитизации. Пропитка под давлением
позволяет получить более плотный композит, кроме того высокое давление
предотвращает выдавливание расплавленного пека из пор газообразными продуктами
пиролиза в процессе карбонизации.

При осаждении поликристаллической матрицы из газовой фазы каркас помещают в
печь, в которой он нагревается. Во внутренний объем каркаса подается
газообразный углеводород, из которого при прохождении сквозь поры каркаса на
поверхность волокон осаждается углерод. Процесс осаждения повторяется несколько
раз, при этом присутствует необходимость между циклами счищать углеродную
корку, образующуюся на поверхности каркаса для вскрытия пор.

Для осаждения из газовой фазы характерна проблема, которая заключается в том,
что в процессе осаждения закупориваются малые поры и узкие проходы между
крупными порами, что приводит к появлению замкнутых пространств внутри каркаса.

В некоторых случаях методы пропитки жидкостью и осаждение из газовой фазы
используются по очереди в рамках единого технологического цикла.

\subsection{Контроль качества конструкций из тканых композитов с
поликристаллической матрицей}

Конструкции из тканых композиционных материалов с поликристаллической матрицей
в процессе эксплуатации подвергаются различным воздействиям, связанным с видом
нагрузки (растяжение, сжатие, изгиб), характером нагружения (статический,
динамический), действием окружающей среду (температура, влажность).

Исходя из этих факторов определяется комплекс конструктивно-эксплуатационных
требований, предъявляемых к материалам. Анализ механических свойств материалов
позволяет определить способность материалов удовлетворять комплексу
этих требований. 

При оценке механических свойств различают несколько видов показателей:

\begin{itemize}
 \item Показатели свойств материалов, определяемые вне зависимости от
конструктивных особенностей и характера службы изделий. Такие показатели
определяются с помощью стандартных испытаний образцов на растяжение, сжатие,
изгиб, твердость. Результаты таких испытаний можно использовать только для
расчетов деталей и конструкций, работающих при нормальных условиях и действии
статических нагрузок, так как они не полностью характеризуют прочность
материала в реальных условиях эксплуатации.

 \item Показатели конструктивной прочности материалов, характеризующие их
работу в конкретном изделии --- характеристики долговечности изделий и
надежности материалов в изделии. Эти показатели определяют при статических и
динамических испытаниях образцов с острыми трещинами, аналогичными тем, которые
имеются в реальных деталях конструкций.

 \item Показатели технологичности конструкционных материалов, которые
характеризуют способность материала приобретать необходимую форму под
воздействием температурных факторов и давления, подвергаться механической
обработке.
\end{itemize}

Для оценки конструкционных свойств тканых материалов их подвергают механическим
испытаниям. Методы испытаний подразделяют в зависимости от характера воздействия
на материалы на прямые (разрушающие) и косвенные (неразрушающие) методы.

Так как создание тканого композиционного материала с поликристаллической
матрицей неразрывно связана с созданием конструкции из этого материала, а также
из-за высокой стоимости данного типа материалов, для оценки конструктивных
свойств предпочтительнее использовать неразрушающие методы испытаний. Однако их
обоснование и проверка с помощью прямых методов также необходима. 

Контроль механических характеристик тканых композитов обычно связан с
определением стандартного набора параметров: прочность и модуль Юнга при
растяжении и сжатии, прочность и модуль при сдвиге, коэффициент Пуассона. Для
определения этих характеристик проводят следующие испытания: 

\begin{itemize}
 \item Одноосное растяжение. Является наиболее распространенным и хорошо
изученным видом механических испытаний. Характеристики, полученные при
испытании на одноосное растяжение служат для оценки несущей способности
материала.
 \item Испытание на сжатие. При таких испытаниях результаты значительно зависят
от формы и размеров образца. Также при таких испытаниях необходимо
предотвратить потерю устойчивости образца.
 \item Испытание плоских образцов на сдвиг. Сдвиговая прочность и жесткость
тканых композитов с поликристаллической матрицей является одним из недостатков,
поэтому правильное определение сдвиговых характеристик имеет важное значение,
однако практически невозможно обеспечить в образцах состояние чистого сдвига.
\end{itemize}

Методы неразрушающего контроля тканых композитов с поликристаллической матрицей
в зависимости от физических явлений положенных их в основу, подразделяют на
6 видов:

\begin{itemize}
 \item Электрический --- основанный на регистрации в контролируемом объекте
электрического поля, создаваемого непосредственным воздействием на него
электрического возмущения. С помощью данного метода можно определять различные
физические параметры изделия: диэлектрическую проницаемость, плотность,
содержание компонентов. Использование этих методов не позволяет контролировать
большинство необходимых характеристик композита: регулярность заданной
внутренней структуры материала, разноплотность внутри материала и др. 
 \item Вихревой --- основанный на анализе взаимодействия внешнего
электромагнитного поля с электромагнитным полем вихревых потоков, наводимых
возбуждающей катушкой в электропроводящем объекте контроля. Этим методам
свойственна малая глубина контроля, определяемая глубиной проникновения
электромагнитного поля в контролируемую среду. С помощью вихревых методов могут
быть обнаружены дефекты типа несплошностей, выходящих на поверхность или
залегающих на небольшой глубине, а также трещины и расслоения.  
 \item Радиотехнический. В настоящее время в основном используются
радиоволновые и радиоспектроскопические методы. Радоволновые основаны на
использовании явления отражения и затухания радиоволны, связанные с наличием
дефектов в контролируемом изделии. С помощью таких методов проводят измерение
толщины, выявление различных неоднородностей и определение состава материала. 
Радиоспектроскопические методы основаны на использовании зависимости
резонансных явлений в материале от состава материала, и его структуры и формы
изделия. Такими методами можно контролировать появление дефектов очень малых
размеров, кроме того с помощью этих методов можно получить информацию о составе
дефектов, их геометрической форме и размерах.
 \item Тепловой --- основанный на регистрации температурных полей
контролируемого объекта. С помощью тепловых методов выявляются такие дефекты
как пропуски армирующих нитей в ткани и сравнительно крупные посторонние
включения, однако мелкие структурные дефектны обнаружить такими методами не
удастся из-за особенностей современной аппаратуры. 
 \item Акустический --- основанный на регистрации параметров упругих колебаний,
возбуждаемых в исследуемом объекте. Такие методы разделяют на две группы ---
основанные на излучении и приеме акустических волн (активные) и основанные
только на приеме волн (пассивные). Такие методы позволяют контролировать
сплошность материалов, качество паяных и клееных соединений, измерять толщины
при одностороннем доступе.
 \item Ультразвуковой --- основанный на использовании ультразвуковых волн.
Методы ультразвуковой дефектоскопии позволяют выявить разрывы нитей, пузырьки
воздуха и скопление смолы. Ультразвуковым испытаниям можно подвергать
конструкции любой формы.
\end{itemize}

При выборе метода неразрушающего контроля необходимо руководствоваться такими
факторами как физико-механические свойства материалов, характерные особенности
внутренней структуры и структурных дефектов, геометрические параметры изделия,
состояние поверхности изделия, а так же условия проведения контроля.

\subsection{Структурные дефекты тканых композитов с поликристаллической
матрицей}

Особенностью тканых композитов с поликристаллической матрицей является то, что
наряду с дефектами, присущими традиционным материалам, такими как трещины, поры,
посторонние включения, могут образовываться дефекты, характерные только для
данного вида материала, связанные с особенностями структуры ткани и методом
формирования матрицы. Такие дефекты могут быть различными для каждого этапа
изготовления.

Дефекты связанные с отклонениями от расчетных параметров структуры возникают на
этапе изготовления ткани. К числу таких дефектов можно отнести отклонения в
направлении армирующих нитей, пропуски нитей в направлении армирования (рис.
\ref{fig:c1:no_fiber}).

На этапе формирования матрицы могут возникнуть дефекты связанные с отклонением
от расчетного распределения плотности конечного материала, а так же нарушение
структуры армирующей ткани, возникающие на подготовительных операциях. Также, в
следствие нарушения технологического процесса на этом этапе могут возникнуть
трещины и внутренние поры (рис. \ref{fig:c1:pore}).

Разрывы волокон утка или основы (рис. \ref{fig:c1:break}) могут возникать на
каждом из этапов: на этапе формирования ткани --- вследствие очень тесного
размещения нитей, в процессе сшивки слоев ткани при формировании конструкции, на
этапе формирования матрицы --- из-за внутренний напряжений, возникающих в
материале во время его изготовления.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{d3}
 \caption{Пропуск нити в направлении армирования} 
 \label{fig:c1:no_fiber}
\end{figure}

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=14cm]{d4}
 \caption{Внутренняя технологическая пора} 
 \label{fig:c1:pore}
\end{figure}

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{d1d2}
 \caption{Разрывы нитей утка (а) и нитей основы и утка (б)} 
 \label{fig:c1:break}
\end{figure}

Кроме того, на каждом из этапов в тканый композит могут попасть посторонние
включения, что тоже негативно сказывается на физико-механических свойствах
материала.

Различные типы дефектов оказывают разное влияние на физико-механические
свойства тканых композитов. Пропуски волокон в каком-либо направлении обычно
приводит к снижению прочности при растяжениях. Локальные поры оказывают влияние
на модуль упругости в трансверсальном направлении, где содержание волокон мало,
а влияние матрицы на формирование жесткости указанного направления весьма
значительно.

\section{Разработка твердотельной модели тканого композита с локальными
технологическими дефектами}

\subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита}
\label{c1:geometry}

Будем моделировать слой тканого композита с армирующим каркасом полотняного
переплетения образованного волокнами круглого поперечного сечения
постоянного диаметра $D$, толщина которого которого составляет $2,5 D$.
Будем считать, что искривление нитей основы и утка ткани задается
дугой окружности $a$ с центральным углом $\alpha = \pi \mathord{\left/
{\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4 $ и прямой $b$
(рис.~\ref{fig:c2:geometry}) \cite{bib:imankulova}. В силу малости деформаций
будем считать углы $\alpha$ неизменными при нагружении слоя.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geom}
 \caption{Геометрия изгиба волокна}
 \label{fig:c2:geometry}
\end{figure}

Построение геометрической модели слоя тканого композита будем проводить с
помощью платформы для численного моделирования SALOME, которая представляет
собой набор пре- и постпроцессинга. Первоначально задуманная как
программное обеспечение CAD-CAE, SALOME реализует возможности
параллельных вычислений, объединяет модули, применяемые в различных
приложениях численного моделирования и САПР. Так, например, платформа
SALOME используется как база для проекта NURESIM (European Platform for
NUclear REactor SIMulations), предназначенного для полномасштабного
моделирования реакторов \cite{bib:salome}.

С помощью операции экструзии вдоль кривой, показанной на
рис.~\ref{fig:c2:geometry}, формируется сегмент волокна, из которого, в свою
очередь, с помощью операций трансляции и зеркалирования формируется фрагмент
ткани (рис.~\ref{fig:c2:regular}~а). Матрица моделируется с помощью операции
вычитания из твердотельного прямоугольного параллелепипеда фрагмента ткани,
после чего матрица и фрагмент ткани совмещаются для получения твердотельной
модели тканого композита с поликристаллической матрицей
(рис.~\ref{fig:c2:regular}~б) \cite{bib:salome:geom,
bib:salome:additional_geom, bib:laduga:geom}.

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/regular_all}
 \caption{Фрагмент слоя тканого композита с идеальной периодической структурой:
а)~только волокна, б)~волокна, окруженные матрицей}
 \label{fig:c2:regular}
\end{figure}

Коэффициенты армирования моделируемого слоя тканого композита с
поликристаллической матрицей --- $\alpha_{1} = \alpha_{3} = 0{,}14$. Здесь и
далее оси $x_1$ и $x_3$ ортогональной декартовой системы координат принадлежат
плоскости слоя.

Будем рассматривать дефекты, типичные для тканых композитов с
поликристаллической матрицей: пропуск нити основы
(рис.~\ref{fig:c2:fiber_skip}), разрыв волокна основы
(рис.~\ref{fig:c2:one_fiber_break}), разрыв волокон основы и утка
(рис.~\ref{fig:c2:two_fibers_break}), а также внутреннюю технологическую пору
(рис.~\ref{fig:c2:pore}).

\begin{figure}[ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d1d2}
 \caption{Фрагмент тканого композита с пропуском нити без дополнительной
пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:fiber_skip}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d3d6}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокна основы без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:one_fiber_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{geometry/v1/d4d7}
 \caption{Фрагмент тканого композита с разрывом волокон основы и утка без
дополнительной пропитки (а) и с пропиткой (б)}
 \label{fig:c2:two_fibers_break}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{geometry/v1/d5}
 \caption{Фрагмент тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:c2:pore}
\end{figure}

Полости, образующиеся в результате разрывов нити основы, нитей основы или утка
или вызванные наличием внутренней технологической поры имеют характерные
размеры, соизмеримые с характерными размерами неоднородностей, не изменяют
значительно интегральные коэффициенты армирования композита. Полость,
образующаяся при пропуске волокна основы уменьшает коэффициент армирования
вдоль основы до $0{,}13$. При дополнительном уплотнении с последующей
карбонизацией или доосаждением матрицы из газовой фазы эти полости могут быть
заполнены материалом матрицы либо оставаться незаполненными.

\clearpage

\subsection{Постановка краевой задачи теории упругости}

Будем предполагать, для простоты, что волокна и матрица слоя модельного
тканого композита изотропные, линейно упругие, не изменяющие геометрию,
взаимное расположение и тип симметрии при нагружении. Тогда компоненты
тензора напряжений $\sigma_{ij,j} ({\bf r})$ удовлетворяют уравнениям равновесия

\begin{equation}
 \sigma_{ij,j} ({\bf r}) = 0,\label{eq:Eqvilibrium}
\end{equation}

\noindent а компоненты тензора малых деформаций $\varepsilon_{ij}$ связаны
с компонентами вектора перемещений $u_{i}$ геометрическими соотношениями Коши 

\begin{equation}
\varepsilon_{ij} ({\bf r}) = \frac{1}{2}\left[u_{i,j} ({\bf
r}) + u_{j, i}({\bf r}) \right].
\label{eq:Koshi}
\end{equation}

Введем для описания геометрии слоя тканого композита единичную
кусочно-однородную индикаторную функцию $\lambda({\bf r})$ радиус-вектора
${\bf r}$, которая принимает значение $1$, если точка принадлежит нити основы
или утка, и $0$, если матрице. Тогда определяющие соотношения могут быть
записаны следующим образом:

\begin{equation}
\sigma_{ij} ({\bf r}) = \left\{ C_{ijkl}^{f}\lambda({\bf r}) +
C_{ijkl}^{m} \left[ 1-\lambda({\bf r}) \right ] \right\}
\varepsilon_{kl}({\bf r}),
\label{eq:Guck}
\end{equation}

\noindent где верхними индексами $f$ и $m$ отмечены материальные
коэффициенты, относящиеся к волокнам и матрице соответственно.

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} должна
быть дополнена граничными условиями:

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond}
\end{equation}

\noindent обеспечивающими заданное макрооднородное деформирование в плоскости
слоя и условиями идеального сопряжения

\begin{equation}
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{+}} =
 \left[\sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} \right] |_{\Gamma_7^{-}}, \quad
 \left[u_i {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_7^{+}} = \left[u_i
 {\bf(r)}\right]|_{\Gamma_7^{-}} 
 \label{eq:b_cond_ideal}
\end{equation}

\noindent на границах раздела фаз $\Gamma_7$ (рис.~\ref{fig:c2:b_cond}).

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=12cm]{geometry/v1/bc}
 \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости}
 \label{fig:c2:b_cond}
\end{figure}

Полости, вызванные наличием локальных дефектов и незаполненные матрицей имеют
внутреннюю поверхность $\Gamma_8$, на которой отсутствуют ограничения на
перемещения, сама поверхность свободна от напряжений:

\begin{equation}
 \sigma_{ij} {\bf (r)} n_{j} |_{\Gamma_8} = 0.
 \label{eq:b_cond_free}
\end{equation}

а ее точки не имеют ограничений на перемещения. В случае насыщения внутренней
поры соответствующие объемы материала обладают свойствами матрицы.

\section*{Выводы к первой главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы к первой главе}

\begin{enumerate}
 \item Рассмотрены технологические процессы производства конструкций из тканых
композиционных материалов с поликристаллической матрицей, включающие в себя
такие этапы как производство волокна, производство ткани, получение матрицы и
способы совмещения матрицы с тканым каркасом для получения конструкции.
 \item Описаны методы контроля качества тканых композиционных материалов с
поликристаллической матрицей и типы дефектов, которые могут быть выявлены с их
помощью.
 \item Определены типы дефектов, возникающие на каждой из стадий
технологического процесса производства тканых композиционных материалов с
поликристаллической матрицей и их влияние на физико-механические свойства
конструкций из этих материалов.
\end{enumerate}