disser/c2.tex

\chapter{Локальные поля напряжений и деформаций в представительных объемах
тканого композита с поликристаллической матрицей}

В главе\insecondtext

\section{Численное решение краевой задачи упругости методом конечных 
элементов}

Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\eqref{eq:b_cond} -- \eqref{eq:b_cond_free}  решается численно методом конечных
элементов, который является одним из наиболее эффективных методов решения задач
механики деформируемого твердого тела и расчета конструкций из тканых
композитов.

Решать задачу будем с помощью некоммерческого пакета Code-Aster, входящего в
состав платформы SALOME-MECA. Этот пакет был разработан и сертифицирован
специально для французской энергетической отрасли и предназначен для задач
механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма,
выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений
\cite{bib:code-aster:common, bib:code-aster:presentation}.

Дискретизация матрицы проводилась на 14-узловые тетраэдральные элементы
(рис.~\ref{fig:elements}~а), волокно разбивалось на 20-узловые гексаэдральные
элементы (рис.~\ref{fig:elements}~б).

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=8cm]{elements}
 \caption{Пример конечных элементов: а) тетраэдральный, б) гексаэдральный}
 \label{fig:elements}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:mesh:matrix} представлена конечно-элементная сетка фрагмента
матрицы слоя модельного тканого композита полотняного переплетения.
Конечно-элементная сетка волокон представлена на рис.~\ref{fig:mesh:fibers}.

\begin{figure}[!ht]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/matrix}
 \caption{Пример дискретизации матрицы}
 \label{fig:mesh:matrix}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=17cm]{mesh/v1/fibers}
 \caption{Пример дискретизации волокон}
 \label{fig:mesh:fibers}
\end{figure}

Для сопряжения конечно-элементных сеток армирующего каркаса и матрицы на этапе
дискретизации выделялись <<главная>> и <<подчиненная>> поверхности. На этапе
расчета узловые точки <<подчиненной>> поверхности (например, принадлежащие
матрице) проецировались на те ближайшие конечные элементы, грани которых
расположены на <<главной>> поверхности, и считались принадлежащими этим
элементам. Перемещения точек <подчиненной>> поверхности заменялись перемещениями
их проекций на элемент <<главной>> поверхности \cite{bib:code-aster:contact}.

Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0{,}20$
волокон соответствовали данным работы \cite{bib:tarnapolsky}.
Упругие модули поликристаллической матрицы были выбраны следующими: $E_m
= 0{,}28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. 

\section{Тестирование математической модели тканого композита с искривленными
волокнами}

Для проверки корректности построения математической модели решалась задача по
определению напряженно-деформированного состояния при двухосном
равнокомпонентном деформировании слоя тканого композита с искривленными
волокнами для сеток с разным количеством конечных элементов и проводилось
сравнение значений интенсивностей напряжений $\sigma_I$ в точке, находящейся 
в геометрическом центре слоя тканого композита с бездефектной идеальной
периодической структурой. Такие же задачи решались для модели слоя тканого
композита с дефектом в виде туннельной поры, для случаев когда полость,
возникающая в следствие дефекта доуплотняется материалом связующего или
остается незаполненной. 

Зависимость интенсивностей напряжений в точке, находящейся в центре слоя
тканного композита от количества конечных элементов показана в таблице
\ref{tab:convergence}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Зависимость интенсивностей напряжений от количества конечных
элементов}

  \begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
    \hline
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Идеальная периодическая структура}& 
    \multicolumn{2}{|p{5cm}||}{Туннельная пора}&
    \multicolumn{2}{|p{5cm}|}{Туннельная пора, доуплотненная материалом
связующего} \\
    \hline
    $C$ & $\sigma_{I}$  & $C$ & $\sigma_{I}$ & $C$ & $\sigma_{I}$ \\
    \hline
    \hline
    218 207 & 33.6 & 213 381 & 38.0 & 194 196 & 37.9 \\
    \hline
    271 644 & 32.0 & 261 695 & 36.2 & 241 932 & 36.0 \\
    \hline
    365 283 & 31.1 & 345 396 & 35.2 & 326 327 & 35.2 \\
    \hline
    427 855 & 31.2 & 402 304 & 35.4 & 382 954 & 35.3  \\
    \hline
   \end{tabular}
 \label{tab:convergence}
\end{table}

Из таблицы видно, что расхождение между интенсивностями напряжений в двух
последних вычислительных экспериментах не превышает $1\%$, что может
свидетельствовать о достаточной степени дискретизации модели.

Распределения интенсивностей напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой, полученные в ходе решения задачи показаны на
рис.~\ref{fig:vmis_v1_s1}. 

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s1}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой}
 \label{fig:vmis_v1_s1}
\end{figure}

Из рисунка видно, что распределение искомых полей в рассматриваемом случае
удовлетворяют условиям симметрии и периодичности геометрической модели и
приложенной внешней нагрузке, что говорит о корректно построенной
геометрической модели и корректности полученного численного решения.
Максимальных значений интенсивность напряжений достигает в местах наибольшей
кривизны волокон.

Параметры конечно-элементной сетки, удовлетворяющие условиям неизменности
качественных и количественных характеристик для моделей с различными видами
дефектов, а также для модели с идеальной периодической структурой представлены
в таблице~\ref{tab:discr}.

\begin{table}[ht!]
 \caption{Параметры конечно-элементной сетки}
   \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|}
    \hline
      & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\
    \hline
    \hline
     Идеальная периодическая структура & 298~255 & 77~760 \\
    \hline
     Тунельная пора & 285~664 & 69~984 \\
    \hline
     Туннельная пора с доуплотнением & 266~314 & 69~984 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы & 285~466 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокна основы с доуплотнением & 296~499 & 75~168 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка & 279~276 & 72~576 \\
    \hline
     Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 276~175 & 72~576 \\
    \hline
     Внутренняя технологическая пора & 287~934 & 77~760 \\
    \hline
  \end{tabular}
 \label{tab:discr}
\end{table}

\section{Модели тканого композита с поликристаллической матрицей с периодическим
и квазипериодическим расположением волокон}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений}

Безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) /
\sigma_{ij}^{per}({\bf r})$ вычислялись как отношение компонент тензора
напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.

Для расчета коэффициентов концентрации был написан пакет вспомогательных
программ с использованием языка программирования Python, который является
простым и, в то же время, мощным интерпретируемым объектно-ориентированным
языком программирования. Он предоставляет структуры данных высокого уровня,
имеет изящный синтаксис и использует динамический контроль типов, что делает
его идеальным языком для быстрого написания различных приложений, работающих
на большинстве распространенных платформ \cite{bib:rossum}.

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в
таблице~\ref{tab:max_k_s1}:

\begin{table}[ht]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при двухосном равнокомпонентном растяжении в плоскости слоя}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     & $1{,}36$ & $1{,}15$ & $1{,}07$ & $1{,}18$ & $1{,}05$ & $1{,}48$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     & $1{,}21$ & $1{,}19$ & $0{,}97$ & $0{,}99$ & $1{,}04$ & $1{,}15$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}47$ & $2{,}33$ & $1{,}71$ & $0{,}97$ & $1{,}96$ & $1{,}47$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}29$ & $1{,}13$ & $0{,}94$ & $1{,}16$ & $1{,}27$ & $1{,}24$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}32$ & $1{,}09$ & $0{,}96$ & $0{,}95$ & $2{,}90$ & $1{,}55$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}18$ & $0{,}98$ & $0{,}9$ & $1{,}01$ & $1{,}06$ & $1{,}14$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     & $1{,}08$ & $1{,}39$ & $1{,}11$ & $1{,}89$ & $1{,}27$ & $1{,}38$\\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s1}
\end{table}

Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации для всех
типов дефектов кроме внутренней технологической поры вносит касательная
составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, её значение в модели с
дефектом более чем в $2$ раза превышает соответствующее значение в идеальной
периодической модели. В случае внутренней технологической поры значения
коэффициентов концентраций превышают $4$ и соответствуют касательным
составляющим тензора напряжений $\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s1}~--~\ref{fig:k_d5_s1} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений
достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или
утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локальных дефектов, где интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза для случаев разрыва волокна
основы и внутренней технологической поры, в $1{,}4$ раза для случая пропуска
волокна основы и в $1{,}5$ раз для одновременного разрыва волокон основы и
утка. При этом, в случае пропуска волокна основы или разрыва волокон основы и
утка, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}3$ с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d1d2_s1}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d3d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d3d6_s1}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme1/d4d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б)}
 \label{fig:k_d4d7_s1}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme1/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой}
 \label{fig:k_d5_s1}
\end{figure}

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при чистом сдвиге}

Если в краевой задаче \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} заменить
граничные условия \ref{eq:b_cond} граничными условиями

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = -u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = u_3^0,\\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s2}
\end{equation}

\noindent получим задачу на чистый сдвиг, решив которую получим распределение
интенсивностей напряжений, показанных на рис.~\ref{fig:vmis_v1_s2}.

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s2}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при чистом формоизменении}
 \label{fig:vmis_v1_s2}
\end{figure}

Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений в слое тканного
композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии
различных технологических дефектов под воздействием сдвиговых
нагрузок представлены в таблице~\ref{tab:max_k_s2}:

\begin{table}[ht!]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при чистом формоизменении}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     & $1{,}21$ & $1{,}04$ & $2{,}17$ & $1{,}15$ & $1{,}35$ & $1{,}41$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     & $1{,}17$ & $0{,}92$ & $1{,}95$ & $1{,}12$ & $1{,}42$ & $1{,}45$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     & $1{,}34$ & $1{,}02$ & $2{,}00$ & $1{,}21$ & $1{,}06$ & $1{,}15$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     & $1{,}36$ & $1{,}13$ & $1{,}99$ & $1{,}15$ & $0{,}96$ & $1{,}09$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     & $1{,}50$ & $1{,}47$ & $2{,}24$ & $1{,}24$ & $0{,}98$ & $1{,}30$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     & $1{,}38$ & $1{,}21$ & $2{,}16$ & $1{,}18$ & $1{,}06$ & $1{,}32$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     & $1{,}24$ & $1{,}18$ & $4{,}16$ & $1{,}25$ & $1{,}37$ & $1{,}25$ \\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s2}
\end{table}

Из таблицы видно, что в случае приложения сдвиговых нагрузок к
фрагменту композита с локальными технологическими дефектами максимальные
значения принимают коэффициенты концентрации касательной составляющей
$\sigma_{13}$ и нормальной составляющей $\sigma_{33}$ компонент тензор
напряжений. Для фрагмента с внутренней технологической порой максимальный вклад
в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательные составляющие
$\sigma_{12}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора
напряжений.

На рис.~\ref{fig:k_d1d2_s2}~--~\ref{fig:k_d5_s2} показаны распределения
коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при наличии различных
типов технологических дефектов и с учётом дополнительной пропитки композита
материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d1d2_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d3d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d3d6_s2}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme2/d4d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d4d7_s2}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme2/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при чистом сдвиге}
 \label{fig:k_d5_s2}
\end{figure}

Вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений превышают соответствующие
интенсивности напряжений определенное  для композита идеальной периодической
структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней технологической поры, в $1{,}3$ 
раза для случая пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}6$ раз для
одновременного разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае разрыва волокна
основы или волокон основы и утка, значение коэффициентов концентрации
интенсивностей напряжений может быть снижено до $1{,}2$ и $1{,}5$
соответственно, с помощью дополнительных операций доуплотнения
поликристаллической матрицы.

\subsection{Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении}

В случае, если граничные условия \ref{eq:b_cond} в краевой задаче
\eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} будут принимать вид

\begin{equation} 
 \begin{array}{c}
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_2} = u_1^0, \quad u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_1} = 0, \\
  u_1 {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = u_3 {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = u_2
  {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = u_2 {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_4} =
  \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = \sigma_{23} {\bf (r)}|_{\Gamma_3} = 0, \\
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_5} =
  \sigma_{12} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = \sigma_{13} {\bf (r)}|_{\Gamma_6} = 0,
 \end{array}
 \label{eq:b_cond:s3}
\end{equation}

\noindent получим задачу на одноосное растяжение слоя тканого композита в
направлении, соответствующем направлению утка.

Решив задачу \eqref{eq:Eqvilibrium} -- \eqref{eq:Guck} с граничными условиями
\ref{eq:b_cond_ideal} -- \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3} методом
конечных элементов, получим распределение интенсивности напряжений
(рис.~\ref{fig:vmis_v1_s3}) и максимальные значения коэффициентов концентрации
напряжений (таблица~\ref{tab:max_k_s3}).

\begin{figure}[ht]
 \includegraphics[width=15cm]{vmis_v1_s3}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной
периодической структурой при одноосном растяжении}
 \label{fig:vmis_v1_s3}
\end{figure}

\begin{table}[ht!]
  \centering
  \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого
композита при одноосном растяжении}
  \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|}
   \hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ 
     & $K_{\sigma_{22}}$ 
     & $K_{\sigma_{33}}$ 
     & $K_{\sigma_{12}}$ 
     & $K_{\sigma_{13}}$ 
     & $K_{\sigma_{23}}$ \\
    \hline 
    \hline
     Пропуск волокна основы
     &$1{,}18$ & $1{,}26$ & $1{,}03$ & $1{,}17$ & $1{,}23$ & $1{,}18$ \\
    \hline
     Пропуск волокна основы (доуплотнение) 
     &$1{,}17$ & $1{,}90$ & $1{,}25$ & $1{,}15$ & $1{,}23$ & $1{,}19$ \\
    \hline 
    \hline
     Разрыв нити основы 
     &$1{,}22$ & $1{,}86$ & $1{,}34$ & $1{,}21$ & $1{,}27$ & $1{,}23$ \\
    \hline
     Разрыв нити основы (доуплотнение) 
     &$1{,}20$ & $1{,}46$ & $1{,}04$ & $1{,}16$ & $1{,}26$ & $1{,}22$ \\
    \hline
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка 
     &$1{,}39$ & $3{,}66$ & $1{,}86$ & $1{,}60$ & $1{,}32$ & $1{,}39$ \\
    \hline
     Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) 
     &$1{,}33$ & $2{,}64$ & $1{,}84$ & $1{,}49$ & $1{,}24$ & $1{,}34$ \\
    \hline
    \hline
     Внутренняя пора
     &$1{,}02$ & $1{,}67$ & $0{,}99$ & $1{,}05$ & $1{,}02$ & $1{,}02$ \\
    \hline
  \end{tabular}
  \label{tab:max_k_s3}
\end{table}

Из таблицы \ref{tab:max_k_s3} можно заметить, что наибольший вклад в
коэффициенты концентраций вносят касательные составляющие тензора напряжений
$\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$.
Исключение составляет случай, когда в слое тканого композита присутствует
внутренняя технологическая пора. В этом случае значение касательной
компоненты тензора напряжений превышает соответствующее значение в и идеальной
периодической структуре в $4{,}59$ раз.

Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое
тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей при
наличии различных типов технологических дефектов и с учётом дополнительной
пропитки композита материалом матрицы под воздействием сдвиговых нагрузок
представлены на рис.~\ref{fig:k_d1d2_s3}~--~\ref{fig:k_d5_s3}.

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d1d2}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с пропуском волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d1d2_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d3d6}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d3d6_s3}
\end{figure}

\pagebreak

\begin{figure}[ht!]
 \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v1/scheme3/d4d7}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом
доуплотнения~(б) при одноосном растяжении}
 \label{fig:k_d4d7_s3}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
 \centering
 \includegraphics[width=10cm]{concentrators/v1/scheme3/d5}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в
слое тканого композита с внутренней технологической порой при одноосном
растяжении}
 \label{fig:k_d5_s3}
\end{figure}

Из рисунков видно что вблизи локальных дефектов интенсивности напряжений
превышают соответствующие интенсивности напряжений определенное  для композита
идеальной периодической структуры в $1{,}2$ раза при наличии внутренней
технологической поры или разрыва волокна основы, в $1{,}3$  раза для случая
пропуска или разрыва волокна основы и в $1{,}4$ раз для одновременного
разрыва волокон основы и утка. При этом, в случае пропуска или разрыва волокна
основы, значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений может быть
снижено до $1{,}2$ и $1{,}3$ соответственно, с помощью дополнительных операций
доуплотнения поликристаллической матрицы.

\section*{Выводы ко второй главе}
\addcontentsline{toc}{section}{Выводы ко второй главе}

\begin{enumerate}
 \item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с
искривленными волокнами и поликристаллической матрицей с идеальной
периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как
пропуск волокна основы, разрыв волокна основы, разрыв волокон основы и утка и
внутренняя технологическая пора.
 \item Получены численные решения краевых задач на двухосное растяжение в
плоскости слоя, чистый сдвиг и одноосное растяжение в направлении утка.
 \item Вычислены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные
наличием локальных технологических дефектов в виде пропуска волокна основы,
разрыва волокна основы, разрыва волокон основы и утка, а также внутренней
технологической поры.
 \item Определены механизмы инициирующие разрушение матрицы в слое тканого
композита с искривленными волокнами.
\end{enumerate}