\chapter{Влияние локальных полей напряжений на прочностные свойства тканых композитов с поикристаллической матрицей с учётом трения между волокнами} В главе\inthirdtext \section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоят тканого композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между волокнами} \subsection{Геометрическая модель слоя тканого композита с контактом между волокнами} В процессе изготовления тканого композиционного материала с поликристаллической матрицей не всегда удается исключить соприкосновение нитей основы и утка, вследствие чего в конструкции могут возникать такие локальные дефекты как разрывы нитей основы, разрывы нитей основы и утка, а также внутренние технологические поры. Поэтому необходимо построение моделей, где волокна основы и утка не всегда окружены гарантированной прослойкой поликристаллической матрицы. Геометрические параметры модели аналогичны указанным в разделе~\ref{c1:geometry}, за исключением того что расстояние между волокнами в точках максимальных кривизн равно нулю (рис.~\ref{fig:c3:fibers}), а в матрице, вблизи максимальных кривизн волокон всегда присутствуют внутренние технологические поры из-за невозможности заполнить это простаранство материалом матрицы (рис.~\ref{fig:c3:matrix}). \begin{figure}[ht] \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/regular_slice} \caption{Фрагмент слоя ткани с контактом между волокнами} \label{fig:c3:fibers} \end{figure} \begin{figure}[ht!] \centering \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/matrix} \caption{Фрагмент поликристаллической матрицы слоя тканого композита с внутренними технологическими порами} \label{fig:c3:matrix} \end{figure} В качестве дефектов, вызывающих концентрации напряжений будем рассматривать типичные дефекты, возникающие вследствии очень плотного расположения волокон --- разрыв волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~а) и разрывы волокон основы и утка (рис.~\ref{fig:c3:d2d4}~а). Кроме того рассмотрим случаи когда пора в матрице, образованная дефектом заполняется материалом матрицы в ходе дополнительных технологических операций (рис.~\ref{fig:c3:d1d3}~б и \ref{fig:c3:d2d4}~б). \begin{figure} \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d1d3} \caption{Разрыв волокна основы в тканом композите с поликристаллической матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной пропиткой~(б)} \label{fig:c3:d1d3} \end{figure} \begin{figure} \includegraphics[width=17cm]{geometry/v2/d2d4} \caption{Разрыв волокон основы и утка в тканом композите с поликристаллической матрицей при наличии контакта между волокнами~(а) с дополнительной пропиткой~(б)} \label{fig:c3:d2d4} \end{figure} \subsection{Постановка краевой задачи теории упругости при наличии контакта с трением} Краевая задача теории упругости для случая когда в материале возникает контакт с трением между волокнами основы и утка в местах наибольших кривизн волокон аналогична краевой задаче \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями \ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_free}, за исключением того, что соответствующих контактных поверхностях $\Gamma_9$ (рис.~\ref{fig:c3:bc}) необходимо задать дополнительные граничные условия. \begin{figure}[!ht] \centering \includegraphics[width=10cm]{geometry/v2/bc} \caption{Граничные условия краевой задачи теории упругости при наличии контакта с трением между волокнами} \label{fig:c3:bc} \end{figure} Положение и геометрия контактных поверхностей считается заданными и неизменными в процессе нагружения слоя, кроме того будем считать справедливыми условия контакта с кулоновским трением, тогда на $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: \noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то \begin{equation} \left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} = \left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad \left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:b_cond_Colomb_1} \end{equation} \noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right]|_{\Gamma_9^{-}}$, то \begin{equation} \left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[f|\sigma_{nn} {\bf (r)}| \right] |_{\Gamma_9^{-}},\quad \left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}}, \label{eq:b_cond_Colomb_2} \end{equation} \noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$ --- определяют направление внешней нормали и касательной к поверхности $\Gamma_9$. В случае если в слое тканого композита с поликристаллической матрицей не исключено соприкосновение волокон, вблизи мест с максимальной кривизной волокон остаются герметичные полости, незаполненные материалом матрицы. На поверхностях этих пор отсутствуют ограничения на перемещения, а сама поверхность свободна от напряжений. Граничные условия на этих поверхностях аналогичны граничным условиям \ref{eq:b_cond_free}. \subsection{Численное решение краевой задачи упругости} Для численного решения задачи равнокомпонетного растяжения тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллическкой матрицей в плоскости слоя необходимо задать свойства материала. Модуль Юнга $E_f = 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0,20$ волокон зададим в соответствии с данными работы \cite{bib:tarnapolsky}, а упругие модули поликристаллической матрицы выберем следующими: $E_m = 0,28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m = 0,40$. Так как между волокнами присутствует контакт с трением, необходимо задать статический коэффициент трения \cite{bib:code-aster:contact}: $f = 0,12$, который соответствует случаю скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. Матрицу будем разбивать 14-узловыми тетраэдральными элементами (рис.~\ref{fig:c3:mesh:matrix}), а волокно --- 20-узловыми гексаэдральными элементами (рис.~\ref{fig:c3:mesh:fibers}). Степень дискретизации конечно-элементной сетки будем выбирать таким образом, чтобы дальнейшее ументшение характерных размеров элементов ни качественно ни количественно не влияло на значения структурных перемещений, деформаций и напряжений в слое тканого композита. Параметры сеток, удовлетворяющих этим условиям показаны в таблице~\ref{tab:c3:discr}. \begin{figure}[ht] \includegraphics[width=17cm]{mesh/v2/matrix} \caption{Пример дискретизации матрицы} \label{fig:c3:mesh:matrix} \end{figure} \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=15cm]{mesh/v2/fibers} \caption{Пример дискретизации волокон} \label{fig:c3:mesh:fibers} \end{figure} \begin{table}[ht] \caption{Параметры конечно-элементной сетки} \begin{tabular}{|p{8.25cm}||>{\centering}p{3.45cm}|p{3.45cm}<{\centering}|} \hline & Тетраэдральные элементы & Гексаэдральные элементы \\ \hline \hline Идеальная периодическая структура & 405~480 & 77~760 \\ \hline Разрыв волокна основы & 405~480 & 75~168 \\ \hline Разрыв волокна основы с доуплотнением & 355~341 & 75~168 \\ \hline Разрыв волокон основы и утка & 405~480 & 72~576 \\ \hline Разрыв волокон основы и утка с доуплотнением & 390~862 & 72~576 \\ \hline \end{tabular} \label{tab:c3:discr} \end{table} Решив задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Koshi} с граничными условиями \ref{eq:b_cond}~--~\ref{eq:b_cond_Colomb_2} методом конечных элементов получим поля интенсивностей напряжений в искривленных нитях основы и утка слоя модельного тканого композита идеальной периодической структуры, показанных на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s1}. Как видим, распределение искомых полей в рассматриваемом случае удовлетворяет условиям симметрии и периодичности геометрической модели и приложенной внешней нагрузке. Это свидетельствует о корректно построенной модели и корректности полученного численного решения. Кроме того, обращает на себя внимание концентрация напряжений в местах, где искривленные нити основы и утка имеют наибольшую кривизну. В табл. \ref{tab:c3:max_k_s1} представлены максимальные безразмерные коэффициенты $K_{\sigma_{ij}} = \sigma_{ij}({\bf r}) / \sigma_{ij}^{per}({\bf r})$, определяемые отношением компонент тензора напряжений в слое модельного тканого композита с локальным дефектом к соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры. Обратим внимание на то, что наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносят касательные составляющие тензора напряжений $\sigma_{13}$. Напряжения для этих компонент, в 10--48 раз превышают соответствующие значения для модельного материала с идеальной периодической структурой. \begin{figure}[t!] \centering \includegraphics[width=17cm]{vmis_v2_s1} \caption{Поля интенсивности напряжений в нитях основы и утка при равнокомпонентном двухосном растяжении} \label{fig:c3:vmis_v2_s1} \end{figure} \begin{table}[t!] \centering \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя тканого композита} \begin{tabular}{|p{8cm}||c|c|c|c|c|c|} \hline & $K_{\sigma_{11}}$ & $K_{\sigma_{22}}$ & $K_{\sigma_{33}}$ & $K_{\sigma_{12}}$ & $K_{\sigma_{13}}$ & $K_{\sigma_{23}}$ \\ \hline \hline Разрыв нити основы & $4{,}57$ & $3{,}61$ & $4{,}37$ & $6{,}87$ & $\bf 10{,}87$ & $3{,}69$ \\ \hline Разрыв нити основы (доуплотнение) & $4{,}07$ & $4{,}69$ & $3{,}75$ & $8{,}72$ & $\bf 16{,}46$ & $7{,}27$ \\ \hline \hline Разрыв нитей основы и утка & $4{,}01$ & $3{,}73$ & $5{,}92$ & $6{,}59$ & $\bf 48{,}08$ & $3{,}70$ \\ \hline Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) & $3{,}93$ & $4{,}38$ & $3{,}57$ & $8{,}42$ & $\bf 16{,}06$ & $3{,}85$ \\ \hline \end{tabular} \label{tab:c3:max_k_s1} \end{table} На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s1} представлены распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для слоя модельного тканого композита с разрывом волокна основы и разрывом волокон основы и утка. Расположение областей, в которых интенсивность напряжений достигает максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или утка имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют области, расположенные вблизи локального разрыва утка или одновременного разрыва основы и утка, где интенсивность напряжений превышает соответствующее значение, определенное для композита идеальной периодической структуры в $2{,}1$ раза. Стоит заметить, что заполнение поры, образовавшейся вследствие дефекта, материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или осаждения матрицы из газовой фазы приводит к увеличению коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений до $2{,}8$, при разрыве волокна основы (рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s1}~б) и $3{,}1$ при разрыве волокон основы и утка одновременно (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s1}~б). \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d1d3} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом доуплотнения~(б)} \label{fig:c3:k_d1d3_s1} \end{figure} \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme1/d2d4} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом доуплотнения~(б)} \label{fig:c3:k_d2d4_s1} \end{figure} \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с соприкасащимися волокнами при чистом сдвиге} Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями \ref{eq:b_cond_ideal}~--~\ref{eq:b_cond:s2}, соответствующими чистому сдвигу, дополненными граничными условиями \ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2}, задающими трения между волокнами основы и утка тканого композита с поликристаллической матрицей. Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи, показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s2}, строго периодичны, что говорит о корректности полученного решения. \begin{figure}[ht] \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s2} \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной периодической структурой при чистом сдвиге и наличии контакта между волокнами основы и утка} \label{fig:c3:vmis_v2_s2} \end{figure} Максимальные значения коэффициентов концентрации напряжений представлены в таблице~\ref{tab:c3:max_k_s2}. Как видно из таблицы, наибольший вклад в коэффициенты концентрации напряжений вносят касательная составляющая $\sigma_{13}$ и нормальная составляющая $\sigma_{33}$ тензора напряжений. Значения этих составляющих в материале с дефектом в $10$~--~$29$ раз превышают соответствующие значения в материале с идеальной периодической структуре. \begin{table}[t!] \centering \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя тканого композита при чистом сдвиге} \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|} \hline & $K_{\sigma_{11}}$ & $K_{\sigma_{22}}$ & $K_{\sigma_{33}}$ & $K_{\sigma_{12}}$ & $K_{\sigma_{13}}$ & $K_{\sigma_{23}}$ \\ \hline \hline Разрыв нити основы & $3{,}66$ & $5{,}70$ & $9{,}64$ & $5{,}16$ & $\bf12{,}30$ & $\bf10{,}54$\\ \hline Разрыв нити основы (доуплотнение) & $3{,}36$ & $4{,}87$ & $\bf15{,}83$ & $6{,}53$ &$\bf11{,}59$ & $10{,}97$\\ \hline \hline Разрыв нитей основы и утка & $3{,}76$ & $7{,}53$ & $\bf29{,}34$ & $5{,}82$ & $\bf28{,}39$ & $8{,}02$\\ \hline Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) & $3{,}33$ & $6{,}95$ & $\bf15{,}03$ & $5{,}85$ & $\bf12{,}71$ & $7{,}31$\\ \hline \end{tabular} \label{tab:c3:max_k_s2} \end{table} На рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s2} представлены распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванных наличием дефекта в виде разрыва волокна основы и разрыва волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей при чистом сдвиге. \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d1d3} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом доуплотнения~(б) при чистом сдвиге} \label{fig:c3:k_d1d3_s2} \end{figure} \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme2/d2d4} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом доуплотнения~(б) при чистом сдвиге} \label{fig:c3:k_d2d4_s2} \end{figure} Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений строго периодично и достигает максимальных значений в местах, расположенных вблизи локальных дефектов. При разрыве волокна основы максимальное значение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений равно $2{,}3$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s2}~а), а при одновременном разрыве волокон основы и утка --- $3{,}0$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). При этом, заполнение поры, образовавшейся в результате одновременного разрыва волокон основы и утка, материалом поликристаллической матрицы путем дополнительной пропитки или осаждения матрицы из газовой фазы позволяет снизить коэффициенты концентрации интенсивностей напряжений до $2{,}6$ (рис.~\ref{fig:c3:k_d2d4_s2}~б). \subsection{Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с соприкасащимися волокнами при одноосном растяжении} Решим задачу \ref{eq:Eqvilibrium}~--~\ref{eq:Guck} с граничными условиями \ref{eq:b_cond_ideal}, \ref{eq:b_cond_free} и \ref{eq:b_cond:s3}, соответствующими одноосному растяжению в направлении утка, дополненными граничными условиями \ref{eq:b_cond_Colomb_1} и \ref{eq:b_cond_Colomb_2}, задающими трения между волокнами основы и утка тканого композита с поликристаллической матрицей. Поля интенсивностей напряжений, полученные в результате решения такой задачи, показанные на рис.~\ref{fig:c3:vmis_v2_s3}, строго периодичны, что говорит о корректности полученного решения. В таблице \ref{tab:c3:max_k_s3} показаны макисмальные безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов волокон основы и утка в слое тканого композита с поликристаллической матрицей при одноосном растяжении. Максимальный вклад в коэффициенты концентраций вносит касательная составляющая тензора напряжений $\sigma_{13}$, значения которой в материале с локальным дефектом превышают соответствующие значения в материале с идеальной периодической структурой в $11$~--~$16$ раз. \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=15cm]{vmis_v2_s3} \caption{Поля интенсивности напряжений в слое тканого композита с идеальной периодической структурой при чистом сдвиге и наличии контакта между волокнами основы и утка} \label{fig:c3:vmis_v2_s3} \end{figure} \begin{table}[t!] \centering \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя тканого композита при одноосном растяжении} \begin{tabular}{|p{7cm}||c|c|c|c|c|c|} \hline & $K_{\sigma_{11}}$ & $K_{\sigma_{22}}$ & $K_{\sigma_{33}}$ & $K_{\sigma_{12}}$ & $K_{\sigma_{13}}$ & $K_{\sigma_{23}}$ \\ \hline \hline Разрыв нити основы & $3{,}84$ & $10{,}08$ & $6{,}56$ & $4{,}31$ & $\bf14{,}00$ & $6{,}22$ \\ \hline Разрыв нити основы (доуплотнение) & $3{,}59$ & $4{,}50$ & $6{,}32$ & $3{,}98$ & $\bf11{,}21$ & $7{,}12$ \\ \hline \hline Разрыв нитей основы и утка & $3{,}82$ & $9{,}27$ & $6{,}96$ & $4{,}50$ & $\bf16{,}02$ &$\bf16{,}89$\\ \hline Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) & $3{,}42$ & $4{,}22$ & $6{,}37$ & $3{,}87$ & $\bf11{,}47$ & $6{,}89$ \\ \hline \end{tabular} \label{tab:c3:max_k_s3} \end{table} Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений, вызванные наличием разрыва волокна основы и разрывов волокон основы и утка, показаны на рис.~\ref{fig:c3:k_d1d3_s3} и \ref{fig:c3:k_d2d4_s3}. \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d1d3} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокна основы~(а) и с учётом доуплотнения~(б) при одноосном растяжении} \label{fig:c3:k_d1d3_s3} \end{figure} \begin{figure}[ht!] \includegraphics[width=17cm]{concentrators/v2/scheme3/d2d4} \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений в слое тканого композита с разрывом волокон основы и утка~(а) и с учётом доуплотнения~(б) при одноосном растяжении} \label{fig:c3:k_d2d4_s3} \end{figure} Максимальных значений коэффициенты концентрации достигают в местах наибольшей кривизны волокон. Для материала с локальным разрывом волокна основы значения коэффициентов концентрации интенсивностей напяжений достигают $2{,}3$, а при одновременном разрыве волокон основы и утка --- $2{,}5$, причем заполнение поры, образовавшейся вследствие наличия локального дефекта, материалом поликристаллической матрицы, путем дополнительной пропитки конструкции или осаждения матрицы из газовой фазы, приводит к увеличению коэффициентов концентрации до $2{,}6$ и $3{,}7$ для случаев разрыва волокна основы и одновременного разрыва волокон основы и утка соответственно. \section*{Выводы к третьей главе} \addcontentsline{toc}{section}{Выводы к третьей главе} \begin{enumerate} \item Построена твердотельная модель фрагмента слоя тканого композита с искривленными волокнами и поликристалической матрицей с идеальной периодической структурой и локальными технологическими дефектами, такими как разрыв волокна основы и одновременный разрыв волокон основы и утка с учетом контакта с трением между волокнами. \item Получены численные решения краевых задач на двухосное растяжение в плоскости слоя, чистый сдвиг и одноосное растяжение в направлении утка с учетом контакта с трением между волокнами. \item Вычислены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений, вызванные наличием локальных технологических дефектов в виде разрыва волокна основы и одновременного разрыва волокон основы и утка. \item Определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы в слое тканого композита с искривленными волокнами и наличием контакта с трением между волокнами. \end{enumerate}