\chapter{Влияние локальных полей напряжений на прочностные свойства тканых
композитов с поикристаллической матрицей с учётом трения между волокнами}

\section{Математическая модель упруго-хрупкого поведения слоят тканого
композита с поликристаллической матрицей при наличии контакта с трением между
волокнами}

В случае, если в модельном материале не исключается возможность контакта
нитей основы и утка, на соответствующих контактных поверхностях
$\Gamma_9$ (положение и геометрия которых считается заданными и неизменными
в процессе нагружения слоя) будем считать справедливыми условия контакта
с кулоновским трением. На $\Gamma_9$ следует задать 2 условия: 

\noindent если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)}
\right] |_{\Gamma_9^{+}} < \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |}
\right] |_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{+}} =
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} n_{n} \right] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} ,
\label{eq:b_cond_Colomb_1}
\end{equation}

\noindent а, если $\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right]
|_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[ {f | \sigma_{nn} {\bf (r)} |} \right ]
|_{\Gamma_9^{-}}$, то

\begin{equation}
\left[\sigma_{n\tau} {\bf (r)} \right] |_{\Gamma_9^{+}} \geq \left[
f | \sigma_{nn} {\bf (r)} | \right ] |_{\Gamma_9^{-}}, \quad
\left[u_n {\bf (r)}\right]|_{\Gamma_9^{+}} = \left[u_n {\bf
(r)}\right]|_{\Gamma_9^{-}} , \label{eq:b_cond_Colomb_2}
\end{equation}

\noindent где $f$ --- статический коэффициент трения, а индексы $n$ и $\tau$
--- определяют направление внешней нормали и касательной к
поверхности $\Gamma_9$.

Внутренние поры имеют место в слое композита в случае, если не
исключается соприкосновение волокон. Это герметичные полости, недоступные
для материала матрицы, 



Краевая задача \eqref{eq:Eqvilibrium}--\eqref{eq:Guck} с
граничными условиями \eqref{eq:b_cond}---\eqref{eq:b_cond_free}
решается численно методом конечных элементов в некоммерческом пакете
Code-Aster, входящим в платформу SALOME--MECA. Этот пакет был разработан
и сертифицирован специально для французской энергетической отрасли и
предназначен для задач механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики
и магнетизма, выполнения расчетов для строительных конструкций и сооружений.

\begin{figure}[!ht]
 \centering
%  \includegraphics[width=0.83\linewidth]{img/matrix}
 \caption{Фрагмент тканого композита с искривленными волокнами}
 \label{fig:matrix}
\end{figure}

Дискретизация фрагмента проводилась на 16-узловые тетераэдральные и
20-узловые гексаэдральные изопараметрические элементы. На
рис.~\ref{fig:matrix} представлена дискретизация области матрицы слоя
модельного тканого композита полотняного плетения. Степень
дискретизации выбиралась таким образом, чтобы сетка сгущалась в областях,
имеющих наибольшую кривизну и располагающихся вблизи поверхности контакта
нитей, а также в местах расположения внутренни технологических пор. Полученные
в результате численного решения значения структурных перемещений, деформаций
и напряжений в слое тканого композита без локальных дефектов и с
несовершенствами ни качественно, ни количественно не изменялись при
уменьшении характерных размеров конечных элементов. Этим условиям
удовлетворяют конечноэлементные сетки, параметры которых представлены
в табл.~\ref{tab:discr}. Значения, стоящие в числителе, соответствуют
случаю, когда каждая нить армирующего каркаса окружена гарантированным
слоем матрицы, а в знаменателе --- случаю, когда нити основы и утка имеют
общую поверхность контакта с трением.

\begin{table}[htp]
 \centering
 \caption{Параметры конечноэлементной сетки}
\begin{tabular}{l||c|c}
    \hline
      & Тетраэдральные & Гексаэдральные \\
      & элементы       & элементы \\
    \hline
    \hline
    Идеальная структура & $\frac{298~255} {405~480}$ & $\frac{77~760} {77~760}$
\\
    \hline
    Разрыв волокна основы & $\frac{285~466} {405~480}$ & $\frac{75~168}
{75~168}$ \\
    \hline
    Разрыв волокон основы и утка & $\frac{279~276} {405~480}$ & $\frac{72~576}
{72~576}$ \\
    \hline
 \end{tabular}
 \label{tab:discr}
\end{table}

На рис.~\ref{fig:sigma} показаны распределения интенсивностей напряжений
в искривленных нитях основы и утка при равнокомпонентном двухосном
однородном деформировании слоя модельного тканого композита
идеальной периодической структуры в собственной плоскости. Модуль Юнга $E_f
= 280$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_f = 0,20$ волокон соответствовали
данным работы \cite{bib:tarnapolsky}. Упругие модули поликристаллической
матрицы ыли выбраны следующими: $E_m = 0,28$~ГПа и коэффициент Пуассона $\nu_m
 = 0,40$. Статический коэффициент трения $f = 0,12$ соответствовал
случаю скольжения волокна по поверхности поликристаллической матрицы. Как
видим, распределение искомых полей в рассматриваемом случае
удовлетворяет условиям симметрии и периодичности геометрической модели
и приложенной внешней нагрузке. Это свидетельствует о корректно
построенной модели и корректности полученного численного решения. Кроме
того, обращает на себя внимание концентрация напряжений в местах,
где искривленные нити основы и утка имеют наибольшую кривизну.

\begin{figure}
 \centering
%   \includegraphics[width=0.75\linewidth]{img/vmis}
 \caption{Поля интенсивности напряжений в нитях основы и утка}
 \label{fig:sigma}
\end{figure}


\begin{table}
 \centering
 \caption{Максимальные коэффициенты концентрации напряжений в матрице слоя
тканого композита}
\begin{tabular}{p{6cm}||c|c|c|c|c|c}
\hline
     & $K_{\sigma_{11}}$ & $K_{\sigma_{22}}$ & $K_{\sigma_{33}}$ &
$K_{\sigma_{12}}$ & $K_{\sigma_{13}}$ & $K_{\sigma_{23}}$ \\
\hline \hline
  Разрыв нити основы & $\frac{1{,}29} {4{,}57}$ & $\frac {1{,}63} {3{,}61}$ &
$\frac {1{,}30} {4{,}37}$ & $\frac {1{,}25}
  {6{,}87}$ & $\frac {2{,}31} {10{,}87}$ & $\frac {1{,}44} {3{,}69}$ \\
\hline
  Разрыв нити основы (доуплотнение) & $\frac{1{,}26}{4{,}07}$ &
$\frac{1{,}49}{4{,}69}$ & $\frac{1{,}27}{3{,}75}$ & $\frac{1{,}25}{8{,}72}$ 
  & $\frac{2{,}20}{16{,}46}$ & $\frac{1{,}32}{7{,}27}$ \\
\hline\hline
  Разрыв нитей основы и утка & $\frac{1{,}50} {4{,}01}$ & $\frac{1{,}92}
{3{,}73}$ & $\frac{1{,}56} {5{,}92}$ & $\frac{1{,}58} {6{,}59}$
   & $\frac{2{,}53} {48{,}08}$ & $\frac{1{,}70} {3{,}70}$ \\
\hline
  Разрыв нитей основы и утка (доуплотнение) & $\frac{1{,}35}{3{,}93}$ &
$\frac{1{,}68}{4{,}38}$ & $\frac{1{,}41}{3{,}57}$ 
  & $\frac{1{,}41}{8{,}42}$ & $\frac{2{,}21}{16{,}06}$ & $\frac{1{,}50}{3{,}85}$
\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab:k}
\end{table}

В табл. \ref{tab:k} представлены максимальные безразмерные
коэффициенты $K_{\sigma _{ij} } = {\sigma _{ij} \left( {\rm {\bf r}}
\right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sigma _{ij} \left( {\rm {\bf r}}
\right)} {\sigma _{ij}^{\mbox{per}} \left( {\rm {\bf r}} \right)}}}
\right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sigma_{ij}^{\mbox{per}} \left( {\rm {\bf
r}} \right)}$, определяемые отношением компонент тензора напряжений в
слое модельного тканого композита с локальным дефектом к
соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической
структуры. Значения в числителе были определены в случае, когда каждая
нить армирующего каркаса окружена гарантированным слоем матрицы, а в
знаменателе --- в случае, когда нити основы и утка имеют общую
поверхность контакта с трением, а между участками с наибольшей
кривизной располагается внутренняя пора. Обратим внимание на то, что
наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносят касательные
составляющие тензора напряжений $\sigma_{13}$ и $\sigma_{23}$. Кроме
того, коэффициенты концентрации для этих компонент, определенные для
слоя композита, содержащего внутренние поры, в 5--16 раз
превышают соответствующие значения для материала, в котором каждая нить
окружена гарантированным слоем поликристаллической матрицы.

\begin{figure}
 \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
%   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d3_k}} \\ а)
 \end{minipage}
 \hfill
 \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
%   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d3_k_fric}} \\ б)
 \end{minipage}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивности напряжений
  в поликристаллической матрице тканого композита с локальным разрывом нити
утка}
 \label{fig:k_rasp_1}
\end{figure}

\begin{figure}
 \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
%   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d4_k}} \\ а)
 \end{minipage}
 \hfill
 \begin{minipage}[h]{0.47\linewidth}
%   \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{img/d4_k_fric}} \\ б)
 \end{minipage}
 \caption{Распределение коэффициентов концентрации интенсивности напряжений
  в поликристаллической матрице тканого композита с локальным разрывом нитей
  основы и утка}
 \label{fig:k_rasp_2}
\end{figure}

На рис.~\ref{fig:k_rasp_1} и \ref{fig:k_rasp_2} представлены
распределения коэффициентов концентрации интенсивностей напряжений для
слоя модельного тканого композита с различными локальными дефектами.
Расположение областей, в которых интенсивность напряжений достигает
максимальных значений в местах, где искривленные волокна основы или утка
имеют наибольшую кривизну, строго периодично. Исключение составляют
области, расположенные вблизи локального разрыва утка или одновременного
разрыва основы и утка, где интенсивность напряжений превышает
соответствующее значение, определенное для композита идеальной
периодической структуры в $1,4$ и $1,6$ раз в случае, если нить
армирующего каркаса окружена гарантированным слоем
матрицы (рис.~\ref{fig:k_rasp_1},~б и \ref{fig:k_rasp_2}~б). Если в слое
тканого композита не исключена возможность контакта с кулоновским
трением искривленных нитей, а также присутствуют локальные поры в
местах наибольших кривизн волокон, то коэффициенты концентрации
для рассматриваемых случаев увеличиваются до $2,5$.

\section{Выводы к третьей главе}

На основе построенной модели слоя тканого композита с искривленными волокнами
и поликристаллической матрицей определены коэффициенты концентрации
напряжений, вызванные наличием локальных технологических дефектов в виде
разрыва нити утка, одновременного разрыва нитей основы и утка, наличия
закрытых пор при двухосном равнокомпонентном деформировании,
определены механизмы, инициирующие разрушение матрицы.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что для
повышения способности тканым композитом сопротивляться внешнему
силовому воздействию необходимо предусмотреть в технологическом
процессе операции, обеспечивающие проникновение связующего в
полости технологических локальных дефектов, а также дополнительную
пропитку связующим, доуплотнение и карбонизацию, доосаждение
поликристаллической матрицы из газовой фазы в случае, если в
результате ультразвукового контроля готового изделия обнаруживаются
закрытые внутренние поры. В противном случае возможно развитие дефектов
и последующее разрушение материала матрицы по механизмам сдвигов.