diplom/1spec.tex

\pagebreak
\section{Введение}

Прогнозирование эффективных деформационных свойств и определение статистических характеристик случайных полей напряжений и деформаций в компонентах волокнистых и дисперсно-упрочненных композитов связаны с необходимостью решения стохастически нелинейных краевых задач, для построения приближенных решений которых (например, полного корреляционного приближения) требуются описывающие многочастичное взаимодействие в системе армирующих элементов моментные функции структурных модулей упругости второго, третьего, четвертого и пятого порядков.

При построении приближенных решений нелинейных стохастических краевых задач используются различные (но очень часто не вполне обоснованные) гипотезы о характере многочастичного взаимодействия в ансамбле частиц армирующего наполнителя (например, предельная локальность) и аппроксимации центральных моментов случайного индикатора. Поэтому, во-первых, существует потребность в идентификации и «отбраковке» соответствующих статистических моделей механики структурно-неоднородных сред. Во-вторых, «традиционные» алгоритмы построения условных и безусловных многоточечных моментных функций, которые ранее были использованы для обработки микрошлифов металлов \cite{bvv} и стеклопластиков \cite{vs}, требуют существенной модификации. Это обусловлено тем, что реализация данных алгоритмов связана с построением вспомогательных координатных сеток, определением принадлежности каждого узла этих сеток одной из фаз материала, требует значительных аппаратных и программных затрат.

{\itЦелью} дипломного проекта является развитие математических основ решения стохастических краевых задач механики структурно-неоднородных сред, получение и анализ аналитических выражений для определения моментов второго и третьего порядка, оценка характерного размера представительного объема двухфазного композита с учетом характера усредненного многочастичного взаимодействия в системе армирующих элементов и прогнозирование эффективных упругих свойств однонаправленно армированных стеклопластиков.

Основные результаты проведенных исследований докладывались и обсуждались на 3-й Всероссийской научно-технических конференциях ``Математическое моделирование'' (Самара, 2006).

Дипломный проект выполнен в соответствии с планом научных исследованиями, проводимыми на кафедре Механика композиционных материалов и конструкций ПГТУ.

Теоретические разработки нашли отражение в спецкурсах ``Методы исследования микроструктуры и свойств композитов'', ``Синтез и анализ случайных структур композитов'', читаемых в Пермском государственном техническом университете студентам специальности 121000 --- ``Конструирование и производство изделий из композиционных материалов''.

Автор выражают признательность научному руководителю, доценту кафедры Механика композиционных материалов и конструкций ПГТУ, к.ф.-м.н. А.В.~Зайцеву, а также С.В.~Мельникову, Ю.В.~Соколкину и А.А.~Ташкинову за внимание к работе и обсуждение представленных результатов.

\pagebreak
\section{Моментные функции случайной структуры\\двухфазных однонаправленно-армированных\\композитов}
\subsection{Использование многопроцессорных систем для построения\\моментных функций}

Случайная структура однонаправленно армированных волокнистых композитов, которая исследуется экспериментально путем обработки микрошлифов, а также на основе анализа модельных плоских или пространственных структур, полученных при помощи компьютерного синтеза, может быть описана совокупностью условных и безусловных моментных функций \cite{vs}. Пусть $\lambda(\bf{r})$ --- случайная индикаторная функция, которая принимает значение, равное единице, в случае, если точка $\bf{r}$ принадлежит дискретной фазе --- волокну (объемная доля которых равна $\nu_f$), и нулю --- если эта точка принадлежит непрерывной фазе --- матрице. 

Прогнозирование эффективных деформационных свойств и определение статистических характеристик случайных полей напряжений и деформаций в компонентах двухфазных волокнистых и дисперсно-упрочненных композитов связаны с необходимостью решения стохастически нелинейных краевых задач, для построения приближенных решений которых (например, полного корреляционного приближения) требуются описывающие многочастичное взаимодействие в системе армирующих элементов двух- и трехточечные моментные функции структурных модулей упругости второго, третьего, четвертого и пятого порядков. Эти функции определяются центральными моментами соответствующих порядков случайного индикатора $\lambda(\bf{r})$.

Моментные функции второго порядка $K_\lambda^{(2)}(\bf{r_1,r_2})$ позволяют определить степень взаимодействия и характер упорядоченности между соседними и удаленными друг от друга элементами структуры; третьего порядка $K_\lambda^{(3)}(\bf{r_1,r_2,r_3})$ характеризуют форму, а четвертого порядка $K_\lambda^{(4)}(\bf{r_1,r_2,r_3})$ позволяют установить, как группируются включения \cite{ber}.

Стохастический характер структуры композитов обусловлен случайностью формы, взаимного расположения и ориентации волокон, разбросом характерных размеров частиц армирующего наполнителя. В настоящее время существует потребность определения «скрытых» параметров порядка стохастических структур (например, детерминированных периодических и квази-детерминированных составляющих), практически не отражающихся на эффективных упругих характеристиках этих материалов, но предопределяющих сценарии развития процесса разрушения.

Исследование закономерностей случайных структур будем проводить на основе анализа сгенерированных плоских фрагментов (синтез которых связан со случайным размещением непересекающихся гладких дисков на плоскости \cite{vs,zlt,zlt3}), считая, что волокна двухфазного композита имеют круглое поперечное сечение (рис. 1). При моделировании структур композитов будем предполагать, что координаты центров размещаемых внутри синтезируемого фрагмента дисков (поперечных сечений волокон) являются независимыми равномерными случайными величинами, а характерные размеры волокон описываются одномодальными статистическими законами распределения: симметричными (нормальный) и несимметричными (логнормальный). Кроме того, ограничим законы распределения диаметров слева заданным минимальным значением $D_{min}$ (которое для всех генерируемых структур будет равно $D_{min}=<D>/2$) и будем считать неизменным отношение $<D>/L=0.01$ среднего диаметра волокон $D$ к характерному размеру фрагмента $L$.

\begin{figure}[!h]
\label{struct1}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{ris/str2}
\caption{Фрагменты модельных структур ($k_D=0.60, d/<D>=0.0$) волокнистых композитов с предельной объемной долей волокон, диаметры которых описываются нормальным (а) и логнормальным (б) законами}
\end{figure}

Эти предположения и ограничения согласуются с результатами построения законов распределения диаметров волокон однонаправленно армированного стеклопластиков на основе эпоксидной \cite{vs} и ненасыщенной полиэфирной смолы горячего отверждения ПН–1 \cite{fkg}, оправданы организацией технологического процесса получения волокнистых наполнителей. Как свидетельствуют представленные в этих работах результаты, проверка по критерию $\chi^2$ Пирсона показала, что нормальный закон может быть принят с вероятностью ошибочного отклонения гипотезы не более 6\%, а логнормальный — не более 2\%. 

Расположение волокон в сечении может быть охарактеризовано распределением длин промежутков между волокнами, измеренных в произвольном направлении. В монографии \cite{vs} приведены результаты, показывающие, что с вероятностью не более 6\% по критерию $\chi^2$ Пирсона можно отклонить гипотезу о нормальном распределении минимальных расстояний между волокнами. Вместе с тем, авторами \cite{fkg} была доказана эквивалентность законов распределения длин промежутков и минимальных расстояний между волокнами.

Предположение о том, что диаметры волокон двухфазных однонаправленно армированных композитов являются случайными не вносит существенных корректировок в алгоритмы синтеза структур этих материалов. Для достижения объемных наполнений, близких к предельным, генерация структуры может, при необходимости, сопровождать дополнительным взаимным перемещением, вновь и ранее размещаемых волокон \cite{vs,zlt,zlt3}, а также запрещением выхода какой-либо части поперечного сечения армирующего элемента за границы области.

Однако возможна дополнительная модификация алгоритмов \cite{vs,zlt,zlt3} процедурой предварительной сортировки (по возрастанию значений) последовательности псевдослучайных диаметров волокон, распределенных по заданному статистическому закону \cite{zlt4}. Последующее случайное размещение волокон внутри фрагмента происходит в порядке уменьшения диаметров. Использование предварительной сортировки оправдано необходимостью строгого соблюдения соответствия заданного теоретического и эмпирического (построенного по сгенерированной случайной структуре) статистических законов распределения характерных размеров включений. Можно предположить, что невыполнение этого условия может наблюдаться у материалов, которые содержат как крупные, так и мелкие фракции (поскольку вероятность размещения внутри синтезируемого фрагмента волокон с малыми диаметрами намного больше вероятности расположения волокон большого диаметра).

Вычисление моментных функций можно проводить при помощи алгоритмов, использованных для экспериментального построения этих функций по микрошлифам структуры металлов [13] и стеклопластиков [1]. Реализация этих алгоритмов связана с построением вспомогательных координатных сеток, определением принадлежности каждого узла этих сеток одной из фаз материала, требует значительных аппаратных и программных затрат даже в случае сведения задачи построения моментных функций к нахождению геометрических вероятностей [1]. Действительно, обозначив $Prob(\xi)$ вероятность события $\xi$ , можно преобразовать первое слагаемое равенства

\begin{equation}
\label{k2_beg}
K_\lambda^{(2)}(\bf{r_1,r_2})=\left<\lambda^\circ(\bf{r_1})\lambda^\circ(\bf{r_2})\right>=\left<\lambda(\bf{r_1})\lambda(\bf{r_2})\right>-\nu_f^2
\end{equation}

следующим образом

\begin{equation}
\label{ll}
\left<\lambda(\bf{r_1})\lambda(\bf{r_2})\right>=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\land{\bf r_2}\in\Omega_f)=Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)\nu_f,
\end{equation}

а условную вероятность $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$ определим отношением

\begin{equation}
\label{prob}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)\cong\alpha/\beta.
\end{equation}
Здесь $\alpha$ --- число событий ${\bf r}\in\Omega_f\land{\bf r'}\in\Omega_f$ и $\beta$ --- число событий ${\bf r}\in\Omega_f$.

Моментные функции, построенные этим при помощи реализации этого алгоритма, очень чувствительны к шагу вспомогательной сетки. Однако, уменьшение шага вспомогательной сетки, приводит к значительному росту аппаратных и программных затрат для проведения статистического анализа каждого сгенерированного фрагмента случайной структуры.

Одним из путей преодоления данной проблемы является использование параллельных вычислений с применением технологии MPI (The Message Passing Interface), которая представляет хорошо стандартизованный механизм построения параллельных алгоритмов в модели обмена сообщениями. Кроме того, в настоящее время разработаны стандартные «привязки» MPI к языкам программирования С/С++ и Fortran 77/90, свободные и коммерческие реализации для большинства многопроцессорных платформ, а также для сетей рабочих станций UNIX и Windows NT.

Для реализации технологии MPI был использован пакет MPICH, который  поддерживает стандарт MPI 1.2 и некоторые элементы стандарта MPI 2.0.

Для решения задачи был использованы два алгоритма: в первом на нескольких процессорах определяется только принадлежность точки волокну или матрицы методом прямого перебора, а во втором помимо этого каждый процессор вычислял значения моментной функции для своего, заранее определенного направления. Многопроцессорная реализация заключалась в том, что каждый процессор перебирал точки, начиная со своего порядкового номера, с шагом, равным числу процессоров. В результате весь промежуток делился на число участков, равное числу всех процессоров.

Блок-схема алгоритма 1 приведена на рис. \ref{bs}:

\begin{figure}
\label{bs}
%\include{ris/bs.tex}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/bs}
\caption{Блок-схема алгоритма построения моментных функций для многопроцессорной системы МВС-1000}
\end{figure}

В результате исполнения программы с разным числом процессоров была получена следующая зависимость отношения времени счета на одном процессоре к времени счета на n процессорах от числа процессоров n (таблица \ref{time_zatr}).

\begin{table}[!h]
\footnotesize{
\caption{Временные затраты на реализацию алгоритма построения моментных функций второго порядка случайной структуры однонаправленно армированного композита}
\label{time_zatr}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\multicolumn{12}{|c|}{Число процессоров}\\
\cline{2-13}
&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
Алгоритм 1&1.000&0.867&0.800&0.667&0.599&0.599&0.533&0.533&0.467&0.467&0.533&0.599\\
\hline
Алгоритм 2&1.000&0.857&0.714&0.571&0.429&0.357&0.283&0.214&0.286&0.357&---&---\\
\hline
\end{tabular}
}
\end{table}

Вычисления были выполнены на многопроцессорной системе МВС–1000, основу которой составляет масштабируемый массив процессорных узлов. Каждый узел содержит микропроцессор Alpha 21164 с производительностью 2 GFLOPS при тактовой частоте 500 MHz и оперативную память объемом 128 MB с возможностью расширения. Процессорные узлы взаимодействуют через коммуникационные процессоры TMS320C44, имеющие по 4 внешних канала с общей пропускной способностью 80 Мбайт/с. Для управления массивом процессоров и внешними устройствами, а также для доступа к системе извне был использован хост-компьютер на базе процессора Intel с операционной системой Linux.

Отметим, что для первого алгоритма при счете на 10 процессорах время счета уменьшается более чем в два раза. Увеличение числа процессоров более 10 приводит к увеличению времени счета, что связано с затратами на пересылку данных между процессорами. Для второго алгоритма оптимальное число процессоров равняется восьми и время счета уменьшается почти в пять раз.

\pagebreak
\subsection{Метод геометрических вероятностей для определения моментных функций третьего порядка}

Для снижения программно-аппаратных затрат, которые возникают в результате применения вышеописанного алгоритма, появляется потребность разработки способов аналитического построения условных и безусловных моментных функций произвольного порядка.

Рассмотрим фрагмент случайной структуры двухфазного однонаправленно армированного или дисперсно-упрочненного композита (рис. \ref{struct2}).

\begin{figure}[!h]
\label{struct2}
\begin{center}
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{ris/struct2}
\caption{Геометрический смысл функций $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$}
\end{center}
\end{figure}


{\bf Определение~1.} Назовем {\it прообразом} фрагмент, представляющий конкретную реализацию случайной структуры. Будем считать, что прообраз условно неподвижен.
{\bf Определение~2.} Фрагмент, геометрически идентичный прообразу, над которым могут быть осуществлены преобразования трансляции и произвольного пространственного разворота как жесткого целого, назовем {\it образом} случайной структуры.

На рис. \ref{struct2} представлен прообраз $\hat{\Omega}$ случайной структуры однонаправленно армированного волокнистого композита и образ ${\hat{\Omega}}'$, полученный в результате параллельного переноса на расстояние, определяемое вектором трансляции ${\bf\Delta r}$, направляющие косинусы которого относительно неподвижной системы координат, связанной с $\hat{\Omega}$ равны $n_1$ и $n_2$ ($n_1^2 + n_2^2 = 1)$.

Геометрический смысл условной вероятности $Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)$ в уравнении (\ref{ll}) может быть определен как отношение меры пересечения множеств $\Omega_f$ и $\Omega'_f$ точек, принадлежащих включениям прообраза $\hat{\Omega}$ и образа $\hat{\Omega}'$ соответственно к мере множества $\Omega_f$ ($mes\Omega_f=\nu_f mes\hat{\Omega})$:


\begin{equation}
\label{probr1r2}
\begin{array}{ll}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)&=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\Omega_f}={}\\
{}&=\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=
\frac{\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)}{\nu_f mes\hat{\Omega}}.
\end{array}
\end{equation}

Здесь $\Omega_i\subset\Omega_f$ и $\Omega'_j\subset\Omega'_f$ --- конкретные включения, принадлежащие $\hat{\Omega}$ и $\hat{\Omega}'$, а $N$ --- количество включений.

Важными характеристиками структуры однонаправленно армированных волокнистых и дисперсно-упрочненных композитов являются диаметры включений $D$ и минимальные расстояния между частицами армирующего наполнителя $d$, которые являются детерминированными или случайными, распределенными по заданным статистическим законам. Очевидно, что для каждого сгенерированного фрагмента $D\in[{D_{min},D_{max}}]$, $d\in[{d_{min},d_{max}}]$. Тогда необходимым и достаточным условием ненулевого пересечения будет являться одновременное удовлетворение неравенств

\begin{equation}
\label{krit}
R < r_i + r_j ,
\quad
r_i < R + r_j ,
\quad
r_j < R + r_i ,
\quad
R \le D_{min} ,
\quad
R = |\bf{\Delta r}|.
\end{equation}

Слагаемые $mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)$ из формулы \ref{probr1r2} находятся по следующим соотношениям:

\begin{equation}
\label{mesij}
mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, &d_{ij}\ge r_i+r_j;\\
\pi r_i^2, &r_j\ge d_{ij}+r_i;\\
\pi r_j^2, &r_i\ge d_{ij}+r_j;\\
\kappa, &(d_{ij}\le r_i+r_j)\lor(r_i\le d_{ij}+r_j)\lor(r_j\le d_{ij}+r_i),
\end{array}\right.
\end{equation}

\begin{equation}
\label{kappa}
\begin{array}{ll}
\kappa&=r_i^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ij}r_i}\left(r_i^2+r_j^2-d_{ij}^2\right)\right]+r_j^2\arccos\left[\frac{1}{2d_{ij}r_j}\left(r_i^2+r_j^2-d_{ij}^2\right)\right]-{}\\
{}&-2\sqrt{p(p-r_i)(p-r_j)(p-d_{ij})},
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{pdij}
p=\frac{1}{2}(r_i+r_j+d_{ij}), d_ij=\sqrt{(x_i-x'_j-Rn_1)^2+(y_i-y'_j-Rn_2)^2}
\end{equation}

Здесь $d_{ij}$ --- расстояние между центрами $i$ включения прообраза $\hat{\Omega}$ ($x_i$ и $x_j$ --- координаты центра) и $j$ включения образа $\hat{\Omega}'$ (${x}'_i$ и ${x}'_j$ --- координаты центра), радиусы $\hat{\Omega }$ и $\hat{\Omega}'$ равны $r_i$ и $r_j$ соответственно; $R = |\bf{\Delta r}|$.


Если расстояния $R=|\bf{\Delta r}|$ таковы, что выполнимо неравенство

\begin{equation}
\label{mrasst}
R\le min[D_{min},d_{min}],
\end{equation}

то будет иметь место пересечение $i$-го включения образа с $i$-м включением прообраза ($\Omega_i\cap\Omega'_i$). Этот случай мы в дальнейшем будем называть приближением "малых расстояний". В приближении "малых расстояний" соотношения (\ref{probr1r2}) значительно упрощаются:

\begin{equation}
\label{probr1r2_m}
Prob({\bf r_1}\in\Omega_f\mid{\bf r_2}\in\Omega_f)=\frac{\sum_{i=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)}{\sum_{i=1}^N mes\Omega_f^{(i)}}=\frac{\sum_{i=1}^N mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)}{\nu_fmes\Omega}.
\end{equation}

Меры пересечений $mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)$ в приближении "малых расстояний" находятся по следующим формулам:

\begin{equation}
\label{mes_m}
mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)=\left\{
\begin{array}{ll}
2r_i^2\arccos\left(\frac{R}{2r_i}\right)-\frac{R}{2}\sqrt{r_i^2-\frac{R^2}{4}}, &R<2r_i;\\
0, &R\ge 2r_i.\\
\end{array}\right.
\end{equation}

Если двухфазные композиты содержат включения одинакового радиуса ($r_i=r_j=r$), то из выражения (\ref{mes_m}) будет следовать равенство, полученное ранее авторами \cite{it2}:

\begin{equation}
mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)=\left\{
\begin{array}{ll}
2r^2\arccos\left(\frac{R}{2r}\right)-2\sqrt{r^2-\frac{R^2}{4}}, &R<2r;\\
\pi r^2, &R\equiv 0;\\
0, &R=2r.\\
\end{array}\right.
\end{equation}

В приближении "малых расстояний" вид моментной функции $\tilde{K}_\lambda^{(2)}(R)$ значительно упрощается:

\begin{equation}
\label{k2m}
\tilde{K}_\lambda^{(2)}(R)=\frac{\sum_{i=1}^N\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)\right]-\nu_f^2 mes\hat\Omega}{\nu_f(1-\nu_f)mes\hat{\Omega}}.
\end{equation}

Аналитическое соотношение в виде ряда (\ref{k2m}) для нормированных корреляционных функций случайных структур двухфазных композитов матричного типа в приближении "малых" расстояний позволяет получить точные выражения для производных этих функций при значениях аргумента, равных нулю.

Определение производных нормированных моментных функций является важным этапом на пути решения проблемы идентификации статистических моделей механики струк-\\турно-неоднородных сред. Аналитическое соотношение в виде ряда (\ref{k2m}) для нормированных корреляционных функций случайных структур двухфазных композитов матричного типа в приближении "малых" расстояний позволяет получить точные выражения для производных этих функций при значениях аргумента, равных нулю. Учитывая в равенстве (\ref{k2m}) меры $mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)$, представленные в виде (\ref{mes_m}), получим формулу для производной $\tilde{K}_\lambda^{(2)}(R)$ при $R=0$:


\begin{equation}
\label{proizv2}
\left.\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(2)}(R)\right|_{R=0}=-\frac{3<r_i>}{2\pi(1-\nu_f)\left<r_i^2\right>}\equiv
-\frac{3\aleph}{4\pi\nu_f(1-\nu_f)mes\hat{\Omega}}.
\end{equation}

Здесь $R=|\bf{\Delta r}|$. Как видим, для плоских случайных структур искомая производная при любых объемных наполнениях имеет отрицательный знак, определяется отношением меры $\aleph=mes\partial\Omega_f$, связанной с межфазной границей (суммарный периметр) к площади прообраза $mes\hat{\Omega}$ ($mes\Omega_f = v_f mes\hat{\Omega})$. Кроме того, значение производной при корреляционной функции при $R = 0$ не зависит от направляющих косинусов углов ориентации вектора трансляции $\bf{\Delta r}$.

Для случайных структур армирующие элементы которых имеют детерминированные размеры ($r_i = r)$, выражение (\ref{proizv2}) значительно упрощается:

\begin{equation}
\label{proizv2rir}
\left.\frac{d}{dR}\tilde{K}_\lambda^{(2)}(R)\right|_{R=0}=-\frac{3}{2\pi(1-\nu_f)r}.
\end{equation}

Как видим, значение производной в рассматриваемом частном случае определяется только объемным наполнением $v_f $ и характерным размером включений.

Обобщим полученные результаты с целью получения аналитических выражений для моментных функций третьего порядка. Задача построения моментных функций третьего порядка случайной структуры двухфазных композитов матричного типа также связана с нахождением геометрических вероятностей \ref{l1l2}.

\begin{equation}
\label{k3}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(r_1,r_2,r_3)&\equiv\left<\lambda^\circ(r_1)\lambda^\circ(r_2)\lambda^\circ(r_3)\right>=\left<\lambda(r_1)\lambda(r_2)\lambda(r_3)\right>-{}\\
{}&-\nu_f\left[\left<\lambda(r_1)\lambda(r_2)\right>+\left<\lambda(r_1)\lambda(r_3)\right>+\left<\lambda(r_2)\lambda(r_3)\right>\right]+2\nu_f^3
\end{array}
\end{equation}

Введем множества точек $\Omega_f$ , $\Omega'_f$ и $\Omega''_f$, принадлежащих включениям прообраза $\hat{\Omega}$ и образов $\hat{\Omega}'$ и $\hat{\Omega}''$ соответственно. Образы $\hat{\Omega}'$ и $\hat{\Omega}''$ получены в результате параллельного переноса $\hat{\Omega}$ на расстояния, определяемые векторами трансляции Взаимная ориентация этих векторов относительно неподвижной системы координат, связанной с $\hat{\Omega}$, определяется углом $\Theta$, а взаимная ориентация --- углом $\phi$ (рис. \ref{obraz}). Обратим внимание на то, для статистически изотропного случайного поля структуры аргументами моментной функции третьего порядка будут $|\Delta r_1|$, $|\Delta r_2|$ и $\phi$. 

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\label{obraz}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{ris/struct3}
\caption{Геометрический смысл функций $Prob\left[(\bf{r_1}\in\Omega_f\land\bf{r_2}\in\Omega_f)\mid\bf{r_3}\in\Omega_f\right]$}
\end{center}
\end{figure}

Тогда геометрическим смыслом условной вероятности $Prob\left[r_1 \in \Omega_f\mid(r_2\in\Omega_f\land r_3\in\Omega_f)\right]$, которая содержится в выражении (\ref{k3}) в виде произведения

\begin{equation}
\label{ml3}
\begin{array}{ll}
\left<\lambda({\bf r_1})\lambda({\bf r_2})\lambda({\bf r_3})\right>&
=Prob\left({\bf r_1}\in\Omega_f\land {\bf r_2}\in\Omega_f\land {\bf r_3}\in\Omega_f\right)={}\\
{}&=Prob\left[{\bf r_1} \in\Omega_f\mid({\bf r_2}\in\Omega_f\land {\bf r_3}\in\Omega_f)\right]\times{}\\
{}&\times Prob\left[{\bf r_2}\in\Omega_f\mid {\bf r_3}\in\Omega_f\right]Prob\left[{\bf r_3}\in\Omega_f\right]
\end{array}
\end{equation} 

является мера $mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)$ множества точек, получаемых при пересечении включений, принадлежащих $\hat{\Omega}$, $\hat{\Omega}'$  и $\hat{\Omega}''$ (рис. \ref{obraz}). Следовательно, используя для $Prob\left[{\bf r_2}\in\Omega_f\mid {\bf r_3}\in\Omega_f\right]$ представление (\ref{prob_r1r2}) и, учитывая, что $Prob\left[{\bf r_3}\in\Omega_f\right]\equiv\nu_f$, из соотношения (\ref{ml3}) получим:

\begin{equation}
\label{ml3_p}
\left<\lambda({\bf r_1})\lambda({\bf r_2})\lambda({\bf r_3})\right>=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}\nu_f.
\end{equation}

Таким образом, заменяя в выражении (\ref{k3}) группу слагаемых, содержащих общий множитель $\nu_f$, соответствующими представлениями (\ref{ml2}) и принимая во внимание (\ref{ml3_p}), представим моментную функции третьего порядка случайной структуры двухфазного композита запишем следующим образом:

\begin{equation}
\label{k3_end}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\nu_f\left\{\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}-\right.\\
{}&\left.-\nu_f\left[\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\Omega'_f}+\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}+\frac{mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)}{mes\Omega''_f}\right]\right\}+2\nu_f^3
\end{array}
\end{equation} 

или

\begin{equation}
\label{k3_mr}
\begin{array}{ll}
K_\lambda^{(3)}(R_1,R_2,\phi)&=\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\left\{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f\cap\Omega''_f)-\nu_f\left[mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)+\right.\right.{}\\
{}&\left.\left.+mes(\Omega_f\cap\Omega''_f)+mes(\Omega'_f\cap\Omega''_f)\right]\right\}+2\nu_f^3={}\\
{}&\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}^N\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_i\cap\Omega''_i)-\nu_f\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_i)+\right.\right.{}\\
{}&\left.\left.+mes(\Omega_i\cap\Omega''_i)+mes(\Omega'_i\cap\Omega''_i)\right]\right\}+{}\\
{}&+\frac{\nu_f}{mes\Omega_f}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}{N}(1-\delta_{ijk})\left\{mes(\Omega_i\cap\Omega'_j\cap\Omega''_k)-\right.{}\\
{}&\left.-\nu_f\left[mes(\Omega_i\cap\Omega'_j)+mes(\Omega_i\cap\Omega''_k)+mes(\Omega'_j\cap\Omega''_k)\right]\right\}+2\nu_f^3.
\end{array}
\end{equation}

Здесь $R_1=|{\bf \Delta r_1}|$ и $R_2=|{\bf \Delta r_2}|$; $\delta_{ijk}$ --- коэффициенты, принимающие значения 1 при совпадающих индексах и 0, если хотя бы один из трех индексов отличается от двух других различны (при $i,j=1\dots3$ эти коэффициенты являются обобщенными символами Кронекера). 

Из анализа условий сходимости рядов (\ref{k3_mr}) также может быть получена информация о характере затухания статистических моментов третьего порядка. Существование конечного передела позволит определить асимптоты, вокруг которых происходит осцилляция моментных функций, а анализ знака сумм, входящих в выражения (\ref{k3_mr}) --- определить наличие или отсутствие периодических составляющих в случайных полях структуры. 

Для конкретизации слагаемых, входящих в выражение \ref{k3_mr}, рассмотрим ряд вспомогательных геометрических задач по пересечению трех окружностей. Возможные варианты пересечения включений показаны на рис. \ref{cross}:

\begin{figure}[!h]
\label{cross}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/circles}
\caption{Возможные варианты пересечения включений прообраза $\Omega$ с включениями образов $\Omega'$ и $\Omega''$}
\end{figure}


\begin{enumerate}
\item Все три включения совпадают если одновременно выполняются следующие условия:
$$
r_i=r_j, r_j=r_k, r_i=r_k, R_{ij}=0.0, R_{ik}=0.0, R_{jk}=0.0;
$$
В этом случае площадь пересечения трех окружностей равна $\pi\cdot r_i^2.$

\item Одно из включений не пересекается с другими если выполняется одно из следующих условий:
$$
R_{ij}\ge r_i+r_j, R_{ik}\ge r_i+r_k, R_{jk}\ge r_j+r_k.
$$
Площадь пересечения трех окружностей равна нулю.

$i$-е включение совпадает с $j$-м включением и лежит внутри $k$-го включения (рис. \ref{cross}, а):
$$
r_i=r_j, R_{ij}=0.0, r_k \ge R_{jk}+r_j.
$$
Площадь пересечения трех окружностей равна $\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е включение совпадает с $j$-м включением и $k$-е включение лежит внутри (рис. \ref{cross}, б):
$$
r_i=r_j, R_{ij}=0.0, r_i\ge R_{jk}+r_k.
$$
Площадь пересечения трех окружностей: $\pi\cdot r_k^2.$

\item $i$-е включение лежит внутри пересечения $j$-го и $k$-го включений (рис. \ref{cross}, в):
$$
R_{jk}<r_j+r_k, r_k\ge R_{ik}+r_i, r_j\ge R_{ij}+r_i.
$$
Площадь пересечения трех окружностей: $\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е включение лежит внутри $j$-го и $k$-го включений, которые не совпадают и не пересекаются (рис. \ref{cross}, г):
$$
r_k\ge r_j+R_{jk}, r_j\ge r_i+R_{ij};
$$ или
$$
r_j\ge r_k+R_{jk}, r_k\ge r_i+R_{ik}.
$$
Площадь пересечения трех окружностей равна $\pi\cdot r_i^2.$

\item $i$-е и $j$-е включения лежат внутри $k$-го включения и пересекаются (рис. \ref{cross}, д):
$$
r_k\ge r_i+R_{ik}, r_k\ge r_j+R_{jk}, R_{ij}<r_i+r_j. 
$$
Площадь пересечения равна 
\begin{equation}
\begin{array}{lr}
k=&r_i^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+{}\\
{}+&r_j^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]-2\cdot\sqrt{p\cdot(p-r_i)\cdot(p-r_j)\cdot(p-R_{ij})},
\end{array}
\end{equation}
$$
p=\frac{1}{2}\cdot(r_i+r_j+R_{ij}).
$$

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, е - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j>R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j>R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

Площадь пресечения равна:
\begin{equation}
\begin{array}{lr}
k=&r_i^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+{}\\
{}+&r_j^2\cdot\arccos\left[\frac{1.0}{2\cdot R_{ij}\cdot r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]-2\cdot\sqrt{p\cdot(p-r_i)\cdot(p-r_j)\cdot(p-R_{ij})},
\end{array}
\end{equation}
$$
p=\frac{1}{2}\cdot(r_i+r_j+R_{ij}).
$$

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, ж - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j<R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j<R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

Найдем площадь пересечения включений для данного случая:

Пусть $S_{ij}$ -- площадь пересечения $i$ и $j$ включений, а $S_{jk}$ -- площадь пересечения $j$ и $k$ включений. За $S_j$обозначим площадь $j$ включения.

Площадь фигуры, получающейся при пересечении трех включений найдем по формуле (\ref{mesOmega}):

\begin{equation}
\label{mesOmega}
mes\:\Omega_{inters} = S_j - (S_j-S_{ij}) - (S_j-S_{jk}),
\end{equation}

Или, после раскрытия скобок:

\begin{equation}
\label{mesOmega2}
mes\:\Omega_{inters} = S_{ij}+S_{jk}-S_j,
\end{equation}

$S_{ij}$ и $S_{jk}$ находятся по формуле (\ref{mesij}), а $S_j=\pi r_j^2$. В результате подстановки получаем формулу (\ref{mesOmega3}):

\begin{equation}
\label{mesOmega3}
\begin{array}{rcl}
mes\:\Omega_{inters} = r_j^2\cdot
\left(
\arccos\left[\frac{1}{2R_{ij}r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{ij}^2\right)\right]+
\arccos\left[\frac{1}{2R_{jk}r_j}\cdot\left(r_j^2-r_i^2+R_{jk}^2\right)\right]-\pi
\right)+\\
{}+
r_i^2\arccos\left[\frac{1}{2R_{ij}r_i}\cdot\left(r_i^2-r_j^2+R_{ij}^2\right)\right]+
r_3^2\arccos\left[\frac{1}{2R_{jk}r_k}\cdot\left(r_k^2-r_j^2+R_{jk}^2\right)\right]-\\
{}-2\cdot\left(
\sqrt{p_1(p_1-r_1)(p_1-r_2)(p_1-R_{ij})}+
\sqrt{p_2(p_2-r_3)(p_2-r_2)(p_2-R_{jk})}
\right)
\end{array}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{p1}
p_1=\frac{1}{2}\cdot\left(r_i+r_j+R_{ij}\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{p2}
p_2=\frac{1}{2}\cdot\left(r_k+r_j+R_{jk}\right)
\end{equation}

Здесь $R_{mn}$ --- расстояние между центрами $m$ и $n$ включений,\\
$R_{mn}=\sqrt{(x_m-x_n-Rn_1)^2+(y_m-y_n-Rn_2)^2}$, $n_1$ и $n_2$ --- компоненты единичного вектора нормали, $n_1^2+n_2^2=1$, $R=|\bf{\Delta r}|$.

\item Случай, показанный на рис. \ref{cross}, з - если выполняются оба условия:

$R^{(l)}_{jx_{ik}}$ - расстояние от центра $j$ окружности до $l$-той точки пересечения $i$ и $k$ окружностей.
$$
r_j<R^{(1)}_{jx_{ik}}, r_j>R^{(2)}_{jx_{ik}}
$$

\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
\label{funct1}
\includegraphics[width=\textwidth]{ris/funct1}
\caption{Частный случай нормированных моментных функций третьего порядка случайной структуры однонаправленно армированного волокнистого композита}
\end{figure}


\pagebreak
\subsection{Частные случаи моментных функций третьего порядка}

Рассмотрим некоторые частные случаи:

\begin{enumerate}

\item Найдем выражение для двухточечного момента третьего порядка $K_\lambda^{(3)}({\bf r_i,r_i,r_k})$:

\begin{equation}
\label{rierj}
K_{\lambda}^{(3)}({\bf r_i,r_i,r_k}) = \left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right>-\nu_f \left[\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\right>+2\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right>\right]+2\nu_f^3
\end{equation}

Среднее от произведения трех индикаторных функций $\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right>$ можно представить в виде условных вероятностей следующим образом (\ref{lililkf}):

\begin{equation}
\label{lililkf}
\begin{array}{rcl}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right> = 
Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\land {\bf r_i}\in\Omega_f\land {\bf r_k}\in\Omega_f)={}\\
{}=Prob\left[{\bf r_i}\in\Omega_f\mid({\bf r_i}\in\Omega_f\land {\bf r_k}\in\Omega_f)\right]\times{}\\
{}\times Prob\left[{\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_k}\in\Omega_f\right]Prob\left[{\bf r_k}\in\Omega_f\right],
\end{array}
\end{equation}

или

\begin{equation}
\label{lililks}
\begin{array}{rcl}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right> =
Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\land {\bf r_k}\in\Omega_f)Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_k}\in\Omega_f)Prob({\bf r_k}\in\Omega_f)={}\\
{}=Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_k}\in\Omega_f)\cdot\nu_f\cdot Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_k}\in\Omega_f)Prob({\bf r_k}\in\Omega_f).
\end{array}
\end{equation}

Заменяя условные вероятности отношениями мер пересечения включений получаем:

\begin{equation}
\label{lililkt}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right> =
\frac{mes(\Omega_f \cap \Omega''_f)}{mes(\Omega_f)}\cdot\nu_f\cdot\frac{mes(\Omega_f \cap \Omega''_f)}{mes\Omega_f}\cdot\nu_f=\left(\frac{mes(\Omega_f \cap \Omega''_f)}{mes\hat{\Omega}}\right)^2
\end{equation}

Представим в виде условных вероятностей слагаемые содержащие произведение двух индикаторных функций:

\begin{equation}
\label{lili}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_i})\right>=Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\land {\bf r_i}\in\Omega_f)=Prob({\bf r_i}\in\Omega_f)=\nu_f
\end{equation}

и

\begin{equation}
\label{lilk}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_k})\right>=Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_k}\in\Omega_f)\cdot\nu_f=\frac{mes(\Omega_f \cap \Omega''_f)}{mes\hat{\Omega}}
\end{equation}

подставляя выражения (\ref{lililkt})--(\ref{lilk}) в (\ref{rierj}) получаем:

\begin{equation}
\label{kiikend}
\begin{array}{rcl}
K_{\lambda}^{(3)}({\bf r_i,r_i,r_k})=
\left[\frac{mes(\Omega_f^i \cap \Omega_f^k)}{mes\widehat{\Omega}}\right]^2-
\nu_f\cdot\left[\nu_f+2\frac{mes(\Omega_f^i \cap \Omega_f^k)}{mes\widehat{\Omega}}\right]+2\nu_f^3={}\\
{}=\frac{mes(\Omega_f^i \cap \Omega_f^k)}{mes\widehat{\Omega}}\left[\frac{mes(\Omega_f^i \cap \Omega_f^k)}{mes\widehat{\Omega}}-2\nu_f\right]-\nu_f^2+2\nu_f^3
\end{array}
\end{equation}


\item Рассмотрим случай, когда один из аргументов моментной функции равен нулю:

\begin{equation}
\label{rk0}
K_\lambda^{(3)}({\bf r_i,r_j,}\vec{0})=\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_j})0\right>-\nu_f\left[\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_j})\right>+\left<\lambda({\bf r_i})0\right>+\left<\lambda({\bf r_j})0\right>\right]-2\nu_f^3=-\nu_f\left[\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_j})\right>+2\nu_f^2\right].
\end{equation}

Представим среднее от произведения индикаторных функций в виде условных вероятностей:

\begin{equation}
\label{lilj0}
\left<\lambda({\bf r_i})\lambda({\bf r_j})\right> =Prob({\bf r_i}\in\Omega_f\mid {\bf r_j}\in\Omega_f)\nu_f=\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\hat{\Omega}}.
\end{equation}

В результате подстановки (\ref{lilj0}) в (\ref{rk0}) получим:

\begin{equation}
K_\lambda^{(3)}({\bf r_i,r_j,}\vec{0})=-\nu_f\left(\frac{mes(\Omega_f\cap\Omega'_f)}{mes\hat\Omega}+2\nu_f^2\right).
\end{equation}

\end{enumerate}

\pagebreak
\subsection{Выводы по разделу}

Получены аналитические выражения в виде рядов для моментных функций второго и третьего порядка случайной структуры двухфазных композитов матричного типа.

Получены точные выражения для производных моментных функций второго и третьего порядка случайной структуры двухфазных композитов, которые определяются отношением мер, связанных с межфазной границей (поверхностью) и частицами армирующего наполнителя.

Подготовлен пакет прикладных программ для построения моментных функций второго и третьего порядков (для одно- и многопроцессорных систем).

\pagebreak
\section{Заключение}

Основные результаты дипломного проекта заключаются в следующем:

\begin{enumerate}
\item Получены новые аналитические выражения в виде рядов для моментных функций второго и третьего порядка случайной структуры двухфазных композитов матричного типа, позволяющие в явном виде выделить слагаемые, соответствующие приближению ``малых'' расстояний. Определены производные этих функций и проанализировано влияние типа закона распределения диаметров включений на угол наклона корреляционных функций в точке, соответствующей нулевому значению аргумента.

\item В работе проведен расчет экономической эффективности программного продукта для построения моментных функций третьего порядка случайной структуры двухфазных однонаправленно армированных композитов.

\item Проведен расчет допустимого уровня шума на рабочем месте инженера-программиста. 
центров.
\end{enumerate}